Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

Во-вторых, используя г-таблицы, найти величину площади под кривой между z = 0 и z = нижней границе сегмента.

В-третьих, найти площадь под кривой между г - О и z = верхней границе интервала. Разность этих двух площадей и будет равна вероятности того, что случайная переменная будет находиться в заданном интервале. , *

Рассмотрим это на следующем примере.

Нам нужно узнать вероятность того, что некий актив, доходность которого нормально распределена, принесет доход от 4,9% до 5,0%. Средняя величина дохода по этому активу равна 4%, а среднее квадратическое отклонение составляет 1%. Не забудьте, что для непрерывных переменных мы рассматриваем вероятность того, что переменная примет значение в данном интервале, а. не в данной точке.

Значения z Для 4,9% и 5,0% соответственно будут:

Из таблицы стандартизованного нормального распределения находим, что площадь между z = 0 и z - 1 равна 0,3413, а площадь между z = 0 и z = 0,9 равна 0,3159. Таким образом, площадь стандартизованного нормального распределения между z = 5% и z = 4,9% равняется 0,3413 - 0,3159 = 0,0254. Это можно интерпретировать так: вероятность того, что доходность актива будет находиться между 4,9% и 5,0%, составляет 2,54%. Этот пример изображен на рис. 4.6.


г = 0,3159 г =0,3413

Рис. 4.6



Этот метод можно использовать для определения вероятности того, что случайная величина, например цена актива, примет значение выше или ниже определенной величины. Предположим, например, мы знаем, что ежедневная доходность некой ценной бумаги нормально распределена с математическим ожиданием, равным 0,5%, и средним квадратическим отклонением 0,1%, и мы хотим узнать вероятность того, что ежедневная доходность будет больше 0,525%. Сначала мы найдем значение нормированной величины Z-

Теперь перейдем к таблице и определим площадь под кривой между z = 0 и z - 0,25, которая равна 0,0987. Принимая во внимание, что кривая нормального распределения симметрична и вероятность падения z ниже нуля равна 0,5, определяем вероятность того, что z < 0,25 : 0,5 + 0,0987 = 0,5987. Соответственно вероятность того, что z > 0,25 (или доходность выше 0,525%) составит 0,4013, или 40,13% (1 - 0,5987 = 0,4013).

Обычно площадь под кривой определяется интегрированием. К сожалению, для функции нормального распределения не существует первообразной. До изобретения компьютеров это представляло бы собой затруднение, если бы не тот факт, что при стандартизации переменной площадь под кривой остается неизменной, что позволяет использовать табличные данные для стандартизованного распределения. При помощи компьютера можно применить еще несколько удобных способов.

Существуют два основных метода нахождения площади под кривой при помощи компьютера. Первый использует метод численного интегрирования, такого, как правило трапеции и правило Симпсона. Другой метод подразумевает использование многочисленной функции, которая приближается к функции, определяемой площадью под кривой. Оба метода рассмотрены в гл. 8, которая посвящена численным методам.

Логнормальное распределение

Как мы уже отметили выше, в соответствии с центральной предельной теоремой процесс сложения изменений приводит к нормальному распределению. Что же произойдет в результате процесса умножения?



Возьмем, например, относительное изменение цены ценной бумаги за период времени At. Пусть S(t) - цена этой ценной бумага в момент времени t и S( t + At) - цена в момент времени t + At, тогда относительное изменение цены по истечении периода Дг будет равно:

. (4.28)

St 4

Но если мы рассмотрим изменения цены на протяжении некоторого количества (я) промежутков времени, dt, где Edr = At, то сможем составить уравнения относительных изменений цены для каждого из таких меньших интервалов. Мы видим, что

S(t + At) S(t + At) S(t + 2At) S(t + 3aq S(t + nAt)

S(t) ~ S(t) S(t + At) S(t + 2At)S(t + (n- \)At) ( )

Таким образом, относительное изменение цены является результатом процесса умножения. Это может быть выражено суммированием, если использовать натуральные логарифмы относительных изменений цен следующим образом:

. S(t + At) , S(t + At) . S(t + 2At) , S(t + 3At)

ln-W- = ln-W- + *7AT + lnW)+--

...+ ln 5( + A/) . (4.30)

S(t + (n-l)At) K

Предположим, что каждое из отношений цен на протяжении короткого отрезка времени dt было случайной переменной, независимой и идентично распределенной (IID), скажем, Xi, Х2 и т.д., где Xj - идентичная копия случайной переменной X. Тогда отношение S(t+7)/S(t) также будет случайной переменной, скажем Y.

Предположим, что \п(Х\), Ы(Х2) и т.д. являются IID, тогда мы сможем применить центральную предельную теорему для того, чтобы предположить, что \n(Sit)/Slt i)) приблизительно нормально распределен. Центральная предельная теорема гласит, что если мы рассматриваем большую случайную выборку, то средняя величина ее будет нормально распределена. Таким образом, когда мы разделяем период времени на большое число промежутков (больше 30), с чем мы имеем дело, когда рассматриваем время как непрерывное, то сумма натуральных логарифмов в



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175