либо подняться в и раз до Su2, либо упасть в d раз до Sud. И в альтернативном варианте, если цена в предыдущем периоде упала до Sd, то она могла упасть в d раз до Sd2, либо возрасти в и раз до Sdu. Тогда после двух временных интервалов, или биномиальных попыток, возможны три результата: Su2, Sud и Sd2. Для получения Su2 нужны два успеха, для получения Sud достаточно одного успеха и для Sd2 нужны две неудачи.

Чтобы показать процесс на числовом примере, предположим, что и = 1,10, d= 0,90 и S= 50.-

Таким образом, в конце первого периода Т\ цена может либо возрасти до S 1,1 =55, либо упасть до S 0,9 = 45, к концу второго периода Т2 - Su2 = 60,50, Sud = 50 и Sd2 = 40,50.

Для определения ожидаемого значения к концу второго интервала следует умножить возможные результаты на их вероятности и сложить полученные произведения. Мы знаем, что существуют три возможных результата - Su2, Sud и Sd2, теперь нам надо знать вероятности каждого из этих результатов. Вероятности определяются при помощи уравнения (4.36). При условии, что наш пример подобен предыдущему, неудивительно, что вероятности составят 0,25, 0,50 и 0,25 соответственно.

Отсюда можно найти ожидаемое значение цены актива, изображенной при помощи биномиального дерева, умножая возможные результаты в конце двух временных периодов на их вероятности. Так как вероятность Su2 = 60,50 будет 0,25, вероятность Sud =50 будет 0,50 и вероятность Sd2 = 40,50 соответствует 0,25, то ожидаемое значение цены актива составит:

(60,50 0,25) + (50,0 0,50) + (40,50 0,25) = 50,25.

Дисперсия будет

(60,5-50,25)2 0,25 + (50-50,25)2

0,50 + (40,5-50,25)2 0,25 = 50,0625.

Может показаться, что такая модель, использующая только два вида изменений - рост и падение, нереалистична. Однако она обладает достаточной гибкостью в выборе значений параметров (и, d и р), чтобы быть мощным инструментом при моделировании поведения цен активов. Следовательно, биномиальное распределение может быть полезно при оценке производных инструментов, в частности при построении численных приближений. Это показано в гл. 8 на примере численных методов.

Распределение Пуассона

Чтобы понять, при каких обстоятельствах применяется распределение Пуассона, предположим, что информация, заставляющая значительно изменяться рыночные цены, поступает на рынок в виде дискретных сообщений независимо, случайным образом и, скажем, со скоростью 10 сообщений в минуту. Возникает вопрос: Какова вероятность того, что в течение следующей минуты поступит только восемь сообщений?

Можно попытаться смоделировать этот процесс при помощи биномиального распределения при я = 60 и р = 1/6, т.е. это можно представить в виде единичного процесса, в ходе которого каждую следующую секунду либо поступает одно сообщение, либо ничего не поступает.

Данное биномиальное распределение (60, 1/6) имеет математическое ожидание, равное 10 (60 1/6). Существует 61 возможный результат -от 0 (ни одного сообщения не поступило за минуту) до 60 (каждую секунду поступает по сообщению). Каждая из возможностей обладает своей вероятностью. Для j = 8 вероятность будет

Заметьте, что 60Св - это количество способов, которыми могут поступить 8 сообщений за минуту (например, по сообщению в течение первых 8 секунд или по сообщению в течение следующих 8 секунд или любым другим способом).

Эта модель имеет ряд существенных недостатков, в числе которых и то, что в наш век сверхбыстрых коммуникаций может поступить больше одного сообщения в течение одной секунды. Можно улучшить эту модель, введя, скажем, полусекундные интервалы. Соответствующей биномиальной моделью будет бином с параметрами (120, 1/12). В этом случае вероятность получения 8 сообщений будет равна 0,1145:

По мере того как мы уменьшаем размер временных интервалов, вычисления все больше усложняются из-за вовлечения в

расчеты факториалов и степеней больших чисел. Более того, дополнительная работа не приводит к значительному изменению окончательного ответа, что дает основания подозревать, что мы приближаемся к пределу. В действительности так оно и есть. Можно продемонстрировать это, рассчитав, что бином (240, 1/24) дает вероятность 0,113534, бином (480, 1/48) - 0,113067 и бином (960, 1/96) - вероятность 8 сообщений 0,112834.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения. Оно применимо в случаях, когда количество попыток (я) приближается к бесконечности, а вероятность успеха (р) - к нулю и математическое ожидание X = пр - константа. Формула распределения Пуассона имеет вид:

р(Х) = 2~хТ- (4-38)

Распределение Пуассона имеет один параметр X - математическое ожидание числа появления событий. В нашем примере X = 10 (т.е. в среднем 10 сообщений поступает в течение одной минуты). Существует бесконечное множество возможных результатов - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т.д., каждый со своей вероятностью.

Для распределения Пуассона с математическим ожиданием, равным 10, вероятность наступления 8 событий равна:

Заметьте, что распределение Пуассона довольно симметрично, если имеет достаточно большое математическое ожидание, и в этой ситуации может быть аппроксимировано кривой нормального распределения. Это очень помогает во время работы над группами вероятностей, когда промежуточные вычисления становятся неуправляемыми.

Дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию, поэтому можно приблизить распределение Пуассона (X) к нормальному распределению с параметрами (X, X) при условии, что значение X достаточно велико. Однако надо отметить, что нормальное распределение - это непрерывное распределение, тогда как распределение Пуассона - дискретное. Таким образом, требуется поправка на непрерывность при аппроксимации.