мейства распределений, которые характеризуются несколькими параметрами.

Такое семейство распределений - это стабильные распределения, называемые так потому, что при сложении распределений (перемножая линейные комбинации характеризующих их функций) этого семейства получается другое распределение, относящееся к этому же семейству. Стабильные распределения в свою очередь состоят из других, лежащих в их основе, распределений. Распределения, построенные на основе распределения Парето (функция плотности вероятности которого ДА) = а/Х+1 для Х> 1), обладают требуемыми характеристиками (симметричность, высокий пик и жирные хвосты) при конкретных значениях четырех определяющих параметров. Эти четыре параметра:

а определяет высоты хвостов;

В определяет скошенность;

у определяет горизонтальный масштаб функции;

5 определяет расположение.

Симметричные распределения получаются при В = 0. Максимальное возможное значение а = 2, в этом случае получается нормальное распределение (для которого у = а2/2). Эмпирические свидетельства указывают на то, что подходящие значения а для моделирования распределения логарифмов доходностей меньше двух, возможны между 1,7 и 1,9, хотя такие распределения страдают недостатком - имеют бесконечно большую дисперсию!

Невозможно записать явную функцию плотности вероятности для таких распределений, и соответствующие вероятности должны рассчитываться с помощью численных значений.

УПРАЖНЕНИЯ Основные определения

1. Брошена стандартная шестигранная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет:

а) три;

б) не три;

в) меньше трех;

г) семь.

2. Одновременно выбрасывают две шестигранные кости и полученные числа записывают. Перечислите члены пространства элементарных событий. Результаты, выпавшие на каждой из костей, складываются. Какова вероятность того, что общая сумма равна 6?

Правила сложения - *

3. Если S - множество натуральных чисел - меньше 13, проклассифицируйте следующие пары подмножеств S как взаимоисключающие и/или исчерпывающие:

а) {четные}, {нечетные};

б) {кратные 3}, {кратные 4};

в) {1,2,3},{>3};

г) {1,2,3}, {4, 5, 6}.

Рассчитайте вероятность того, что случайно выбранный член множества S будет членом каждого из 8 вышеперечисленных подмножеств.

Правило умножения, условная вероятность и независимость

4. Случайным образом выбирается число из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

а) Рассчитайте вероятность того, что выбранное число будет больше 5;

б) рассчитайте вероятность того, что это число будет больше 5 и нечетное,

в) используя ответы к вопросам а) и б), рассчитайте вероятность того, что выбранное число будет нечетным при условии, что оно больше 5. Проверьте правильность ответа, используя другой метод.

5. Случайным образом выбирается число из множества S = {1,2,3,4,5,6,7}.

Рассмотрите следующие подмножества событий А ={1, 2, 3}, В = {2, 4, 6}.

Являются ли А и В статистически независимыми?

6. Брошены две шестигранные кости - красная и синяя. Предположим, что событие А - это выпадение шестерки на синей кости и событие В - это то, что сумма выпавших чисел равна 7. Являются ли события А и В статистически независимыми?

7. В группе из 1000 человек 452 человека имеют текущие счета, 336 - имеют депозитные счета и 302 - и текущий и депозитный счета.

Являются ли атрибуты обладание депозитным счетом и обладание текущим счетом статистически независимыми?

8. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте:

а) вероятность того, что за три месяца цена станет равной (1,Q1)3 от первоначальной;

б) вероятность того, что за три месяца цена станет равной 0,99 (1,01)2 от первоначальной.

Подтвердите ответ на вопрос б), ссылаясь на правила сложения и умножения вероятностей.

9. Изучение ежедневных изменений цен на двух финансовых рынках выявило следующее:

Рынок 1

Рассчитайте вероятности:

а) роста цен на рынке 1;

б) роста цен на рынке 1 при условии, что цены на рынке 2 растут;

в) роста цен на рынке 2 при условии, что цены на рынке 1 растут.

10. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка. Из прошлых данных известно, что 5% рынка представляют собой плохие ценные бумаги - неподходящие объекты для инвестирования. Предложенная система определяет 98% плохих ценных бумаг как потенциально плохие , но также определяет 15% пригодных инвестиций как потенциально плохие . При условии, что ценная бумага была определена как потенциально плохая , какова вероятность того, что ценная бумага в действительности плохая ?

Прокомментируйте пригодность системы для принятия инвестиционных решений.

Случайные переменные

11. Случайная переменная X принимает значение 0 с вероятностью 0,5, значение 1 - с вероятностью 0,3 и 2 - с вероятностью 0,2. Найдите:

а) Е[Х\; б) £[3 + X]; в) Е\ЪХ\; г) Е[Х*]; д) Vsx(X).