Статистические выводы

показатели (или статистики) выборочной совокупности (sample statistics).

Вообще, статистический анализ можно разделить на два вида - описательный (descriptive) и имеющий целью сделать какие-либо выводы (inferential). Описательная статистика рассмотрена в гл. 2, где мы рассчитывали различные виды описательных статистических показателей для того, чтобы охарактеризовать определенные свойства данных. Однако не было сделано никаких попыток к тому, чтобы, используя полученные результаты, оценить или сделать выводы относительно параметров анализируемой генеральной совокупности. В случае статистики, занимающейся получением выводов, информация, представленная в виде выборочных статистических показателей, используется для оценки параметров генеральной совокупности.

В свою очередь статистика получения выводов (inferential statistics) применяется в следующих двух видах анализа: оценивание (estimation) и проверка гипотез (hypothesis testing). Оценивание применяется в том случае, когда мы заранее (a priori) не знаем величину параметров генеральной совокупности. В этом случае мы задаем доверительные интервалы (confidence intervals) для оценивания действительных параметров генеральной совокупности с определенной степенью точнбсти нашей оценки.

Если мы располагаем знаниями a priori относительно параметров генеральной совокупности, эти сведения могут быть сформулированы в виде гипотезы, которая может быть проверена. Например, мы можем проверить гипотезу, что значение параметра генеральной совокупности лежит в определенном интервале. Эти два раздела - оценивание и проверка гипотез - составляют основное содержание данной главы.

На этом этапе полезно ввести обозначения, чтобы можно было различать показатели генеральной совокупности и соответствующие показатели выборки:

fi - генеральная средняя; X - выборочная средняя; сг - среднее квадратическое s - среднее квадратическое отклонение в генеральной отклонение в выборке,

совокупности;

Если нам достаточно повезло в том смысле, что у нас имеет-

пл ппъхлп-чглгупть. глаF\r\tqtl г гг a u и lt ттл nr * u т¥ ирпяnkurtu г г\Т}Г\

купности, то понятно, что при учете всех возможных данных полученные статистические показатели будут реальными показателями генеральной совокупности. Никаких проверок или оценок в этом случае не потребуется. Тем не менее, в финансовых и социальных науках редко можно воспользоваться данными по всей совокупности возможных Наблюдений. Приходится иметь дело с выборками, вследствие чего мы не можем точно знать, совпадают ли статистические показатели по выборке с реальными статистическими показателями генеральной совокупности или же значительно отличаются от них. Следовательно, необходимо разработать методику расчета степени достоверности, позволяющей определить параметры генеральной совокупности, исходя из показателей выборки.

ТЕОРИЯ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ

При работе с выборочными данными мы должны использовать теорию выборочного наблюдения (sampling theory) для определения распределения вероятностей, относящегося к конкретному выборочному статистическому показателю. Это распределение вероятностей известно как выборочное распределение (sampling distribution).

Для того чтобы понять идею, лежащую в основе выборочного распределения, рассмотрим процесс извлечения шаров из барабана для лотерейного розыгрыша. После того как шар был извлечен, а его номер зафиксирован, шар возвращается обратно в барабан и снова может быть выбран. Эта разновидность выборки известна как случайная повторная выборка (random sampling with replacement). О ней будет идти речь далее в этой главе, так как она особенно применима в качестве модели выборки из больших или бесконечных совокупностей.

Этот тип выборки используется в статистике, например, следующим образом. Рассмотрим 50 выборок по 20 шаров в каждой с. возвращением шаров обратно в барабан. Для каждой из выборок рассчитаем какой-либо статистический показатель, скажем, арифметическую среднюю. Рассчитанные выборочные средние для каждой из выборок будут немного отличаться по значению друг от друга, но все они будут сконцентрированы вокруг реаль-

ной средней - одни выше, другие ниже ее. Исходя из предположения о том, что выборки осуществляются случайным образом, выборочные статистические показатели расцениваются как случайные величины. Продолжительный процесс осуществления повторных выборок позволит получить распределение вероятностей выборочного статистического показателя. Это распределение вероятностей называется выборочным распределением выборочного статистического показателя. Наши знания относительно выборочного распределения каждого из статистических показателей позволяют сделать выводы относительно величины параметров генеральной совокупности исходя из выборочных показателей.

Мы сосредоточимся на нормальном распределении и /-рас-пределениии Стьюдента для средних величин, х2~РаспРеДе лении для дисперсий и / -распределении для коэффициента детерминации. Так как последнее относится к оценке степени пригодности линий регрессии, что будет рассмотрено в следующей главе, мы отложим рассмотрение /-распределения до следующей главы.

Выборочное распределение выборочных показателей

Выборочное распределение выборочной средней арифметической

В гл. 4 мы узнали, что согласно центральной предельной теореме средние аддитивных процессов (арифметические средние) будут нормально распределены независимо от распределения исходных величин при условии, что выборки достаточно велики (объем выборки больше 30). Если первоначальная совокупность нормально распределена, а объем выборки меньше 30, распределение выборочных средних будет следовать -распределению Стьюдента.

Математическое ожидание средней всех выборочных средних является генеральной средней. Среднее квадратическое отклонение выборочных средних известно как стандартная ошибка (standard error) и рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения генеральной совокупности к квадратному корню из объема выборки. Обычно эта величина известна как стандартная ошибка средней и определяется по формуле: