SE = -, (5.1)

где a - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности,

я - объем выборки, по которой рассчитывается средняя.

Таким образом, стандартная ошибка находится через среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, отнесенное к квадратному корню из объема выборки. Однако, так как среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности является неизвестным, в качестве его оценки принимается выборочное среднее квадратическое отклонение s. Тогда стандартная ошибка будет определяться так:

(5.2)

Таким образом, исходя из центральной предельной теоремы мы можем сказать, что средняя достаточно большой выборки приближенно нормально распределена со средним значением, равным генеральной средней, и средним квадратическим отклонением, равным стандартной ошибке средней, т.е.:

где знак ~ означает приближенно распределено .

Объяснение, почему в качестве делителя используется Vn, дано в приложении 5.1.

Для выборок малого объема, взятых из совокупности с нормальным распределением признака, неопределенность оценки a с помощью s (которая возрастает при уменьшении объема выборки) допускается при условии применения -распределения.

Выборочное распределение выборочной аисперсии

Выборочное распределение выборочной дисперсии - это одна из форм гамма-распределения, известная как хи-квадрат распределение, обозначаемое через у}. Это распределение принимает разную форму для разного числа степеней свободы. Выборочную дисперсию необходимо привести к стандартизованной

форме с помощью способа, аналогичного тому, с помощью которого нормальное распределение приводилось к стандартизованной форме в гл. 4. Приведение к стандартизованной форме в нашем случае принимает вид:

Х2 , = (я-1)*2/о-2. (5.3)

Индекс (л-1) обозначает число степеней свободы, которое в случае х2-распределения равно количеству наблюдений минус 1. Для малых выборок форма распределения вероятности смещена вправо, но с увеличением объема выборки распределение становится более симметричным.

Таким образом, если средняя нашей переменной нормально распределена, тогда:

(я-О/о2 (5.4)

будет иметь х2- распределение с (л-1) степенями свободы. Несмотря на то, что нам неизвестно <т , полученный результат может быть использован при проверке гипотез относительно величины <т или при определении доверительных интервалов.

ОЦЕНИВАНИЕ

И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ

ИНТЕРВАЛЫ

Располагая выборочными статистическими показателями и знаниями выборочных распределений этих показателей, мы готовы > оценить параметры генеральной совокупности анализируемых данных. При использовании выборочных показателей в оценивании параметров генеральной совокупности выборочные показатели называются оценками (estimators). Желательно, чтобы эти оценки соответствовали характеристике BLUE, что означает Best (наилучшая) Linear (линейная) Unbiased (несмещенная) Estimator . (оценка): Однако может быть необходимым добиться некоторой степени смещенности с целью получения меньшей дисперсии.

Наилучшая (best) означает свойство оценки как имеющей наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок.

Линейная (linear) означает свойство линейной функциональной зависимости оценки от выборочных наблюдений. Например:

e = c,A, + с2Х2+...+с Х ,

где с - константа.

Важность данной характеристики может быть не совсем очевидна, но достаточно сказать, что математические свойства линейной оценки гораздо легче анализировать.

Несмещенная (unbiased) означает свойство, состоящее в том, что математическое ожидание оценки (средняя выборочного распределения) равно параметру генеральной совокупности, т.е. в результате осуществления множества выборок для определения оценки одни выборочные показатели будут больше параметра генеральной совокупности, другие меньше, но среднее значение будет равно параметру генеральной совокупности. Напротив, при смещенной оценке среднее значение будет больше или меньше параметра генеральной совокупности.

Оценки, которые одновременно и несмещенные и имеют наименьшую дисперсию, называются эффективными оценками.

Если оценка смещенная и/или неэффективная, то желательно, чтобы она характеризовалась ассимптртическими свойствами.

Ассимптотическая несмещенность (asimptotic unbiasedness) означает, что любая существующая смещенность в малых выборках (менее 30) уменьшается с увеличением выборки и стремится к нулю с увеличением объема выборки до бесконечности.

Ассимптотическая эффективность (asimptotic efficiency) - это свойство оценки, когда она одновременно состоятельна и имеет меньшую ассимптотическую дисперсию, чем любая другая состоятельная оценка.

Состоятельность (consistency) - это свойство оценки, согласно которому дисперсия оценки уменьшается до нуля с увеличением объема выборки до бесконечности.

Доверительные интервалы

Вычисление выборочных статистических показателей в качестве оценки параметров генеральной совокупности дает в результате нам то, что мы знаем как точечную оценку (point estimates). Однако нам известно, что эта точечная оценка будет сделана с некоторой ошибкой, называемой оценочной ошибкой (estimation error). Следовательно, нам нужен механизм, который бы позволил определить степень доверия к этим точечным оценкам. Та-