Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

ким образом, мы подошли к понятию доверительного интервала (confidence interval) или интервальной оценки.

Проиллюстрируем принцип доверительных интервалов, применив его к средней, также мы адаптируем процесс определения объема выборки, необходимого для получения заданной степени доверия.

Доверительные интервалы пля средней (большая выборка)

Напомним, что проблема состоит в том, что мы не знаем среднюю генеральной совокупности, и нам известна только выборочная средняя. Тем не менее, согласно центральной предельной теореме мы знаем, что выборочное распределение средних имеет среднее значение, которое в свою очередь равно генеральной средней, а среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) равно сг/Тл , где о* - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Но появляется другая проблема - мы не знаем величины среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности, нам известно только выборочное среднее квадратическое-отклонение. Однако здесь можно применить другую часть теории выборочного наблюдения, согласно которой наилучшей оценкой о является:

Другими словами, при условии, что выборочное среднее квадратическое отклонение s найдено при использовании (л-1) в качестве делителя, s является несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения генеральной совокупности. Доказательство этого утверждения рассмотрено в приложении 5.1.

Известно, что для нормально распределенной величины 95% наблюдений будет находиться выше или ниже средней не более, чем на 1,96 среднего квадратического отклонения. Так как средние квадратические отклонения выборочных распределений средних называются стандартными ошибками, мы можем сказать, что выборочная средняя в 95% случаев будет находиться внутри интервала, равного генеральной средней плюс/минус


(я-1)

. (5.5)



1,96 стандартной ошибки. Формула доверительного интервала выглядит так:

H±l,96-f

где s - выборочное среднее квадратическое отклонение.

(5.6)


95%-ный доверительный интервал


-1,96 SE

2,5% площади под ветвью

+ 1,96 SE +оо

Рис. 5.1

Наглядно это может быть проиллюстрированр с помощью рис. 5.1 (SE - стандартная ошибка). График показывает, что в 95% случаев (2,5% в каждой из граничных областей) выборочная средняя находится в пределах 1,96 стандартной ошибки от генеральной средней. Данный интервал можно представить с 95%-ным уровнем вероятности следующим образом:

ц-1,9б4-<*<Ц + 1,9б4=

л/я л/Я

= 0,95

(5.7)

Небольшое алгебраическое преобразование в двойном неравенстве даст:

*-1,9б4=<ц<* + 1,9б4=

л/Я л/Я

= 0,95.

(5.8)

Проиллюстрируем это с помощью конкретного примера. Допустим, что у нас есть данные по 60 месячным наблюдениям доходности по индексу FTSE 100. Выборочная средняя ежемесячной доходности равна 1,125% со средним квадратическим



отклонением 2,5%. Каким будет 95%-ный доверительный интервал для этой средней?

Сначала необходимо рассчитать стандартную ошибку:

- SE = 4=- = 0,3227. л/60

Доверительный интервал будет:

и = 1,125 ± 1,96 0,3227;

или 1,125 - 0,6325 <; ц <; 1,125 + 0,6325;

или 0,4925 5 ц< 1,7575%.

Доверительный интервал можно проиллюстрировать с помощью рис. 5.2.

Уровень вероятности будет:

р [Х- (1,96 0,3227) й ц <X + ( 1,96 0,3227)] = 0,95;

р [[1,125-0,6325] <. ц < [1,125 + 0,6325]] = 0,95; р [0,49255 ц < 1,7575] = 0,95.


95%-ный доверительный интервал

I--i--

2,5% площади под ветвью

±1

2,5% площади под ветвью

JT - 1,96 - 0,3227 = 0,4925

Х- 1,96 0,3227 = 1,7575

Рис. 5.2

Каким образом аналитик используют эту информацию? Может ли он принять решение относительно того, велик ли диапазон, содержащий в себе значение генеральной средней, с точки зрения практического применения доверительного интервала?



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175