Например, приведенный выше доверительный интервал покрывает отрезок от 0,4925 до 1,7775%, т.е., размах составляет 1,265%, что больше по величине самой средней.

Ясно, что аналитик может не согласиться с таким широким размахом и предпочтет его уменьшить. При условии, что выборочная средняя фиксирована, а Значение 1,96 привязано к 95%-ной вероятности, переменной, с помощью которой возможно изменить значение размаха, является стандартная ошибка, которая зависит от выборочного среднего квадратического отклонения и объема выборки. Таким образом, единственный способ уменьшить значение стандартной ошибки - это увеличить объем выборки.

Чтобы проиллюстрировать влияние объема выборки, рассмотрим пример, приведенный выше, но с объемом выборки, увеличенным до 120, выборочное среднее квадратическое отклонение останется неизменным -2,5. Тогда стандартная ошибка будет:

SE = -?== =-- = 0,2282. л/120 Ю,95

А доверительный интервал составит:

ц= 1,125 ± 1,96 0,2282,

или 1,125-0,4473 < ц 51,125 + 0,4473, или 0,6777 <ц<; 1,5723%, т.е. размах равен уже 0,8946.

Как поступать с малыми выборками?

Центральная предельная теорема может быть использована для доказательства утверждения о том, что выборочная средняя нормально распределена при условии, что объем выборки больше 30. В случае с малыми выборками необходимо допустить, что мы производим выборку из нормально распределенной совокупности для того, чтобы выборочная средняя была нормально распределена. Кроме того, только при выборках малого объема наша оценка генеральной дисперсии не будет надежной. В этом случае /-распределение позволит сделать поправку на эту дополнительную степень изменчивости.

Так же, как и нормальное распределение, /-распределение симметрично, но чуть более пологое. Действительная форма распределения зависит от числа степеней свободы, определяемых (л-1). С увеличением объема выборки /-распределение становится более похожим на нормальное.

Таким образом, двусторонний доверительный интервал для малой выборки будет представлен так:

Х - *п-1,а/2 -7=*- < и < * + *п-\,а/2

(5.9)

t -\

выборочное среднее квадратическое отклонение, значение из таблицы /-распределения для выборки объема лис п- 1 степенями свободы, а - уровень значимости.

Уровень вероятности, относящийся к этому доверительному интервалу, выглядит так:

л - п-\,а/2 -7=- < Д < л + tn-\,a/2 ~f=~

= 1-а.

(5.10)

Для иллюстрации использования /-критерия приведем вычисление средней квартальной доходности для определенной группы менеджеров, работающих на фондовых рынках. Согласно проведенным 20 наблюдениям (т.е. 20-1 = 19 степеней свободы) выборочная средняя равна 4,5%. Выборочное среднее квадратическое отклонение составляет 5%. Для 95%-ного уровня.доверия доверительный интервал будет:

Х- 2,093 5/л/19 й\1<Х + 2,093 5/Vl9,

4,5 - (2,093 1,47) <; ц < 4,5 + (2,093 1,47),

4,5 - 2,401 й ц <; 4,5 + 2,401,

2,099 < ц < 6,901%. Уровень вероятности имеет вид:

р[4,5 - 2,093 1,47 <; ц <; 4,5 + 2,093 1,47] = 95%, р[4,5-2,401 й \i <; 4,5 + 2,401] = 95%, />[2,099<М 6,901] =95%.

Гпава 5

Объем выборки

Мы уже видели, что на величину доверительного интервала влияет объем выборки, поэтому часто бывает полезно определить объем выборки, который бы обеспечил оценку параметра генеральной совокупности с .необходимой степенью доверия. Формула для расчета п в этом случае выглядит так:

где п - необходимый объем выборки;

Z - критическое значение из таблицы распределения, соответствующее необходимой степени доверия;

е - половина доверительного интервала, равная разности между р. и границей данного интервала;

s - оценка требуемой величины среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

Доверительный интервал для дисперсии

Выше мы отмечали, что выборочное распределение дисперсии следует, после соответствующего преобразования, х2~РаспРе~ делению. Для определения доверительных интервалов для дисперсии нам важно знать не столько само выборочное распределение дисперсии, сколько выборочное распределение этой величины, приведенное к стандартной форме следующим образом:

Для того чтобы найти 95%-ный доверительный интервал для точечной оценки дисперсии, мы должны определить значение X2, задающее по 2,5% в каждой из граничных площадей под кривой распределения (рис. 5.3). Таким образом, мы должны знать величину х2 ДЛЯ 97,5% значений, лежащих справа, и другую величину х2 - Для 2,5% значений, лежащих справа. Если обозначить степень доверия через 1-а, тогда нам необходимы величины х2 0/2 и х /2 Если мы работаем с 95%-ным уровнем доверительной вероятности, тогда значение а будет 0,05, a

(5.П)