Статистические выводы

2,5% площади под кривой на концах распределения

95%-ный доверительный интервал

2,5% площади под кривой на концах распределения

0,075

10,025

Рис. 5.3

Доверительный интервал определяется так:

2 (я О*2 <, о2 <S Ц--

Х/1-1;!-а/2 Хл-1;а/2

и уровень вероятности будет выглядеть следующим образом:

(5.13)

2 ( - О*2

So2 --

Хл-1;1-<х/2

Хл-1;о/2

.(5.14)

Для иллюстрации расчетов предположим, что согласно выборке объемом в 30 ежемесячных наблюдений дисперсия индекса FTSE 100 составляет 0,0225. Для 29 ( -1 = 29) степеней свободы критические значения х2 РаспРеДеления ПРИ 2,5% в каждой из двух критических областей равны 45,72 и 16,05, тогда

( 29 -0,0225 , 29-0,0225) Ч 45,72 *G 16,05 )-

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения находится извлечением квадратного корня из границ доверительного интервала для дисперсии, т.е.

Р (0,1195 < о 5 0,2016) = 0,95.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Существует два подхода к проверке гипотез: классический, наиболее ранний, и подход на определении уровня вероятности (Р-value), который становится все более популярным с появлением более развитых и продвинутых пакетов прикладных программ. Сначала мы познакомимся с классическим подходом, после чего перейдем к P-value методу. Но прежде объясним некоторые термины.

Мы уже узнали, что при известных выборочном распределении различных описательных статистических показателей, объеме выборки и непосредственном значении самих показателей можно построить доверительные интервалы для точечных оценок. Но часто мы располагаем некоторыми предварительными (о priori) догадками или предположениями относительно величины параметров генеральной совокупности.

Располагая этими знаниями a priori, мы можем проверить гипотезу, что наша догадка действительно верна. Статистическая гипотеза - это рассматриваемое предположение о величине параметра распределения генеральной совокупности. Процесс проверки гипотез базируется на формулировании двух гипотез - нулевой и альтернативной, т.е. формулируются две конкурирующие гипотезы и проверяется, какая из них является верной.

Нулевая гипотеза (null hypothesis), обозначаемая обычно #о, - это допущение, которое считается верным до тех пор, пока не будет доказано обратное исходя из результатов статистической проверки. Альтернативная гипотеза (alternative hypothesis), обычно обозначаемая через Н\, - это гипотеза, которая принимается, если в результате статистической проверки отвергается нулевая гипотеза.

Точная формулировка гипотезы зависит от того, что конкретно мы хотим установить. Например, представим, что просто необходимо знать, равен или нет параметр генеральной совокупности какому-либо значению, скажем, равна ли генеральная

средняя ц величине цц. В этом случае гипотеза будет сформулирована следующим образом:

Я0: ц =ц , (5.15)

Н\- И*Но.

Если же мы хотим знать, превышает или нет параметр генеральной совокупности данное значение, то гипотеза примет вид:

Я0: ц = мо, (5.16)

Щ- ц > но.

В случае, когда необходимо узнать, является ли генеральная средняя меньше по величине цо, гипотеза будет выглядеть так:

Я0: u =мо, (5-17)

Н\- V- < Мо.

Для того чтобы проверить нашу гипотезу, необходимо выполнить статистическую проверку. Статистическая проверка (statistical test) состоит в использовании стандартизованного статистического критерия (standardized test statistic), вычисляемого по данным выборки для принятия решения о том, отвергнуть или нет гипотезу, проверяемую относительно величины параметра генеральной совокупности.

Стандартизованный статистический критерии

В гл. 2 мы узнали, что для того чтобы сравнить одну нормально распределенную переменную с другой, необходимо их привести к нормированной форме со средней, равной нулю, и средним квадратическим отклонением, равным единице. Распределение вероятностей такой нормированной переменной известно как нормированная функция кривой нормального распределения. При проверке гипотез мы должны привести статистический критерий к стандартизованной форме, чтобы сделать полноценное сравнение со стандартизованным нормальным распределением или /-распределением в случае проверки гипотезы для средних, или х2-распределением для дисперсии.

В случае критерия проверки гипотезы для средних вспомним, что если Анормально распределена (т.е. Х~ N(\i a2)), то X