приближенно распределена как X ~ N(\i, s/n). Так как форма нормального распределения зависит от величины средней арифметической и среднего квадратического отклонения, следует привести переменную к стандартизованной форме перед сравнением. В случае проверки гипотезы о величине средней приведение к стандартизованной форме осуществляется следующим образом:

2-. (5.18)

Эта величина называется стандартизованным критерием проверки (standardized test statistic). Если X равно ро, т.е. гипотеза Я0 верна, критерий проверки имеет стандартизованное нормальное распределение (если объем выборки большой) или стандартизованное /-распределение с и-1 степенями свободы (для малой выборки). Оба эти распределения имеют значения средней, равные нулю, и стандартную ошибку (так как они относятся к выборочным распределениям), равную 1. Приведя критерий проверки к стандартизованной форме, можно сравнить его значение напрямую со значениями, относящимися к соответствующим стандартизованным распределениям вероятностей.

Если критерий проверки, полученный в результате стандартизации, расположен в критической области распределения, это доказывает, что средняя X не равна цо> те- наше предположение неверно и Щ ложна. Смысл сказанного заключается в том, что если критерий проверки находится в критической области, это событие маловероятно согласно нашим допущениям. Однако, как выше доказано, если такое событие произошло, мы должны подвергнуть сомнению принятые допущения.

Проверка гипотезы может быть односторонней (one-tailed test) или двусторонней (two-tailed test). Односторонний критерий используется в тех случаях, когда необходимо знать, является ли параметр генеральной совокупности строго больше (правосторонний критерий) или строго меньше (левосторонний критерий) предполагаемого значения. Гипотезы (5.16) и (5.17) будут проверяться с помощью односторонних критериев. Двусторонний критерий приложим к тем случаям, когда нас интересует, отличаются ли реальные значения параметра от предполагаемого значения. Например, гипотезы, представленные выражением (5.15), проверяют с помощью двустороннего критерия.

Критическую область (critical region) составляют те значения выборочных статистических показателей, которые ведут к отказу от нулевой гипотезы. На рис. 5.4 критическая область представлена граничными площадями под кривой.

-1,96 ц +1,96

Рис. 5.4

Уровень значимости (significance level) гипотезы - это вероятность того, что критерий проверки находится в критической области при условии верности гипотезы Hq - обычно равен 5 или 1%. Если проверка при 5%-ном уровне значимости приведет к отказу от гипотезы Щ, то говорят, что величина критерия значима. Если Щ отвергается при 1%-ном уровне, используется термин высокий уровень значимости .

Концепция критической области и уровня значимости может быть проиллюстрирована с помощью рис. 5.4, на котором изображен доверительный интервал для средней. Критические области составляют площади под кривой, находящиеся левее -1,96 и правее +1,96. Доверительный интервал - это площадь под кривой, находящаяся между этими двумя точками. Если X превосходит в положительном или отрицательном направлении 1,96 стандартной ошибки от цо, значит X настолько велика (или мала) по сравнению с предполагаемой цо, что существует очень малая вероятность (отражаемая площадью в граничных областях), что средняя арифметическая выборки репрезентирует

Правило принятия решения (decision rule) для проверки статистической гипотезы - это модель расчета значений выборочных

статистических показателей, на основании которых принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Прежде чем продолжить объяснение, рассмотрим два очень важных типа ошибок, встречающихся при проверке гипотез.

Ошибки I и II попа

В процессе проверки гипотезы существует вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда в действительности она должна быть принята. Это называется ошибкой I рода. Вероятность допущения ошибки I рода - это уровень значимости. Таким образом, когда мы выбираем 5%-ный уровень значимости для проверки, одновременно мы допускаем, что в 5% случаев мы отвергнем нулевую гипотезу тогда, когда фактически нам следовало бы принять ее.

Второй вид ошибок имеет место при принятии нулевой гипотезы в то время, как в действительности она должна быть отвергнута. Такая ошибка называется ошибкой II рода.

Для более четкого объяснения связи между ошибкой I рода и ошибкой II рода рассмотрим аналогию, относящуюся к судебной системе присяжных заседателей и отображенную графически на рис. 5.5.

Действительность

Рис. 5.5

Обвиняемый может быть либо невиновен, либо виновен, следовательно, присяжные могут принять решение о его виновности или невиновности. По сути присяжные проверяют нулевую гипотезу о невиновности обвиняемого. Если присяжные считают, что обвиняемый виновен, когда он в действительности является таковым, то было принято верное решение и никакой ошибки не произошло. Аналогично если присяжные считают