обвиняемого невиновным, когда это в действительности так, то и в этом случае было принято правильное решение. Но если обвиняемый невиновен, а присяжные принимают решение о его виновности, т.е. отвергают нулевую гипотезу, когда фактически она верна - это основная ошибка - ошибка I рода. Этой ошибки стараются избегать прежде всего, поэтому уровень значимости проверки устанавливается с целью уменьшения вероятности совершения этой ошибки (обычно 5 или 1%).

Установив уровень значимости, мы не измеряем степень риска, связанного с совершением ошибки II рода (признание виновного человека невиновным).

Проверка гипотезы о величине генеральной среанеи

Двусторонняя проверка оля среинеп

Если просто нужно проверить, равна ли генеральная средняя выборочной средней, гипотеза формулируется следующим образом:

Я0: ц =цо, (5.19)

и затем стандартизованный критерий используется в следующей процедуре для проверки этой гипотезы:

1) определить уровень значимости для проверки, который обычно равен 10, 5 или 1%, т.е. каждая из граничных областей под кривой распределения будет равна соответственно 5, 2,5 и 0,5%;

2) подставить значение цо в нулевую гипотезу;

3) установить соответствующее критическое значение z (или г в случае проверки по малой выборке) исходя из таблиц, отражающих процентные величины для граничных областей в соответствии с выбранным уровнем значимости;

4) применить следующее правило принятия решения:

Принять Н0, если - z £ ~Ц° £ z, (5.20)

yjs2 In

В противном случае отвергнуть Hq.

Для лучшего представления этой процедуры вспомним, что для нормально распределенной переменной 95% всех значений наблю-

дений будет находиться в интервале не более, чем плюс/минус 1,96 среднего квадратического отклонения от средней. Аналогично если X статистически эквивалентно цо, с 95%-ной уверенностью стандартизованный критерий проверки будет лежать в интервале не более, чем плюс/минус 1,96 стандартной ошибки от нулевого значения. Число 1,96 является критическим значением для статистической проверки гипотезы с 5%-ным уровнем значимости. Если критерий проверки имеет значение большее, чем + 1,96, или меньшее, чем -1,96, это служит доказательством того, что для 5%-ного уровня значимости X - это не то же самое, что цо.

Для иллюстрации рассмотрим проверку того, будет ли средняя месячная доходность в 2,4%, полученная управляющим портфелем ценных бумаг, статистически значимо отличаться от среднего уровня в промышленности, составляющего 2,3%. В первую очередь определим критическое значение для критерия проверки в соответствии с заданным уровнем значимости. Для двусторонней проверки это плюс/минус 1,64, 1,96 и 2,58 для случая нормального распределения. Располагая значением X в 2,4%, а цо - 2,3%, при 36 наблюдениях со средним квадра-тическим отклонением 1,7%, получим значение z, равное 0,3529:

24-23 ,Ч 71 = 0,3529. 1,7/V36

Если размер выборки более 30, можно допустить нормальное распределение.

Так как 0,3529 находится между всеми приведенными критическими положительными и отрицательными значениями, можно заключить, что X = 2,4% статистически незначимо отличается от НО = 2,3%; таким образом, разница в 0,1% - чистая случайность.

Классическая односторонняя проверка Правосторонняя проверка

Если необходимо проверить, больше ли генеральная средняя ц заданной величины цо, следует выполнить проверку с помощью одностороннего критерия, так как нас интересует только одно - больше ли генеральная средняя определенного заданного значения. Формулируем нулевую гипотезу о том, что ц равна цо,

и альтернативную гипотезу о том, что ц больше, чем цо- Нулевую и альтернативную гипотезы запишем так:

Но- и =Мо, (5.21)

Н\ ц > МО.

В данном случае будет осуществляться правосторонняя проверка - проверка вероятности того, что ц находится в правой части критической области распределения, так как в этом случае ц будет больше проверяемого значения цо, и нулевая гипотеза будет отклонена.

Далее вычисляется стандартизованный критерий проверки таким же образом, что и для двусторонней проверки за исключением того, что уровень значимости будет относиться только к правой части распределения. Правило принятия решения выглядит так:

Принять Hq, если-<, z , (5.22)

s/Jn

Отвергнуть Н0, если-!р- £ z <

s/ л/я

Для того чтобы понять смысл этого правила, рассмотрим интерпретацию критерия проверки, большего z- Это означает, что X больше, чем цо, на величину, которая сдвигает ее в критическую область или область отказа. X настолько велика, что вероятность для нее быть равной генеральной средней меньше уровня значимости, установленного для проверки гипотезы. Поэтому мы отказываемся от нулевой гипотезы. Если критерий

проверки был бы меньше г, это означало бы, что X не настолько велика, чтобы попасть в критическую область. Поэтому в данном случае нулевая гипотеза не была бы отвергнута.

В качестве примера предположим, что проверяем гипотезу о том, что средняя месячная доходность по индексу FTSE 100 за данный период составила более 1,2%. По данным 60 наблюдений была рассчитана средняя арифметическая, которая составила 1,25%, и среднее квадратическое отклонение - 2,5%. Тогда критерий проверки составит:

11 = 0,15492. 2,5 /V60

Поскольку размер выборки большой, можно допустить нормальное распределение выборочной средней.