f 0,0065 - 0J05 0,019/Vl2

11 (0,05) = 1>796,

т.е. отвергается гипотеза, *гго их доход равен доходу по индексу.

13. Статистический критерий

41-64,55 .

0,042

*51(0,05) = 67 $ >

следовательно, нет достаточных доказательств, чтобы отвергнуть гипотезу о том, что дисперсия не превышает 0,04.

14. Это вероятность для гипотезы Н0 получения величины, по абсолютному значению равной критерию проверки или превышающей его.

15. Отвергнуть гипотезу, что монета имеет дефект.

x2 = (zl6)l + 16i = 512 Х 100 100

Х?(0,05) = 3-84

Замечание. Для v = 1 (степень свободы) необходимо сделать следующую поправку. Абсолютные рассчи-танные и ожидаемые значения должны быть уменьшены на 0,5. Тогда

2 = (-15,5)2 1541 Х 100 100

что по-прежнему является значимым.

СПИСОК

РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Bowers, D. (1991) Statistics for Economics and Business. Macmillan, London. Curwin, J. and Slater, R. (1996) Quantitative Methods for Business Decisions, 4th edn. Chapman & Hall, London.

Silver, M. (1992) Business Statistics. McGraw-Hill, London.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1. Стандартная ошибка средней

Рассмотрим случайную переменную X, определяемую следующим образом:

Возможное значение -1 1

Вероятность 0,5 0,5

(мы с этим уже встречались в гл. 4).

Мы можем промоделировать процесс, обозначенный переменной X, многократным подбрасыванием монеты и фиксированием значений: 1 - при выпадении орла, -1 - при выпадении решки. Проделаем этот эксперимент 16 раз, рассчитывая ожидаемые и фактически полученные значения параметров.

Ожидаемые значения Фактические значения

Е(Х) = 0,5 (-1) + 0,5 1 = 0 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, \ат(Х) = 0,5 (-1)2 + 0,5 I2 1-1

= 1 = о2 X = -0,125

s2 = 1,05 (заметьте, что деление на 15 вместо 16 позволяет в некоторой степени компенсировать использование -0,125 вместо 0 в качестве средней).

А сейчас выясним, что случится, если вместо индивидуальных осуществлять парные наблюдения и для каждого из них находить среднюю. В гл. 3 уже показано, как производить сложение случайных переменных и их умножение на константу. Наш процесс нахождения средней заключается в сложении двух идентичных случайных переменных и умножении полученной суммы на 0,5. Применение методов, описанных в гл. 3, дает следующее распределение:

Возможное значение -1 0 1

Вероятность 0,25 0,5 0,25

Мы можем использовать те же данные, что и ранее, для сравнения фактических результатов с ожидаемыми.

Ожидаемые значения Фактические значения

ЩХ + Х)/2) = 0,25 (- 1) + Распределив полученные предыдущие

+ п <; п + П9<; i=n результаты в пары, получим:

,Э * (1,-1) (-1,1) (1,1) (-1,-1) (-1,-1) (-1,1)

(1,-1) (1,-1)

Это дает следующие средние: 0, 0, 1, -1, -1, 0, 0, 0

Гпава 5

Исходя из них находим среднюю, равную -0,125, и дисперсию 0,411. Заметьте, что уменьшение дисперсии достигнуто в результате расчета средних по выборкам размера 2. Мы ожидали 50%-ного уменьшения, но фактическое сокращение составило примерно 60%. Выборка большего размера подтвердит значение 50%.

Можно повторить процедуру для расчета средних по выборкам объемом в 3, 4 и т.д., т.е. нам нужна выборка данных большего объема для того, чтобы получить более надежные результаты. Мы можем ожидать, что средняя меняться не будет, а дисперсия будет сокращаться на величину, соответствующую размеру выборки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.2.

Данные по индексу FTSE 100

для проверки степени соответствия

эмпирического и теоретического распределений

Var((Ar+)/2 = 0,25-(-l)2 +

+ 0,25 I2 = 0,5 = oV2