ПРОСТАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Применим регрессионный анализ для простой линейной зависимости между зависимой переменной (У) и одной независимой переменной (X).

Под линейностью мы имеем в. виду, что переменная Y предположительно находится под влиянием переменной X в следующей зависимости:

Y = a + $X + e, (6.1)

где a - постоянная, т.е. если бы даже X была равна нулю, Y имела бы какое-либо положительное или отрицательное значение. Можно ли дать разумное объяснение значению Y даже при X равном нулю, зависит от гипотезы, для которой применяется регрессионный анализ;

Р - коэффициент регрессии, отражает наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Он может быть истолкован как показатель, характеризующий процентное изменение переменной Y, которое вызвано изменением значения X на единицу. Таким образом, если Y и X - это соответственно индексы FTSE 100 и S&P500, то Р будет указывать, на какое количество пунктов изменится FTSE 100 при изменении индекса S&P 500 на один пункт. Если знак р положителен, то переменные положительно коррелированы. При отрицательном знаке р переменные отрицательно коррелированны;

е - ошибка или значение помехи, также называемая остатком. Она отражает тот факт, что обычно движение Убудет по крайней мере неточно описываться лишь движением X. Присутствуют другие факторы, не включенные в данную модель. Однако если исследуемая гипотеза реалистична, то эти другие переменные должны быть относительно неважными.

Обращаясь снова к взаимосвязи между FTSE 100 и S&P 500, отметим, что индекс FTSE 100 - зависимая переменная Y, так как мы выдвинули гипотезу о том, что движение этого индекса находится под влиянием, т.е. зависит от изменения индекса S&P 500, который представлен переменной X. В данной гипотезе мы предполагаем, что множество других незначительных и несвязанных влияний представлены в модели величиной е.

Если экономические аргументы достаточно сильны, мы можем развить гипотезу о том, что уровень индекса S&P 500 находится под влиянием индекса FTSE 100. При таком допущении величина индекса S&P 500 стала бы переменной У, а индекса FTSE 100 - переменой X.

Расположив данные из табл. 6.1 на приведенной ниже точечной диаграмме рассеяния (рис. 6.1), мы действительно видим, что высокие (низкие) значения S&P 500 соответствуют высоким (низким) значениям FTSE 100. Таким образом создается впечатление, что данные по двум индексам растут и падают вместе.

Таблица 6.1

Z(X-X)2= Z(X-X)(Y-Y)= 108046,7 644387,4688

300 320 340 360 380 400 420 440 460 480

S 4 P 500

Рис. 6.1. Диаграмма рассеяния уровней FTSE 100 и S&P 500

Однако фактические данные не говорят нам ничего о причинной связи. Наше понимание причинной связи исходит из предварительно выдвинутой гипотезы. Как мы заметили в одном из предыдущих абзацев, указание на причину и следствие, т.е. на то, что является зависимой, а что независимой переменной, определяется выдвинутой гипотезой

Для иллюстрации этого вернемся снова к гипотезе о том, что уровень FTSE 100 находится под влиянием уровня S&P 500. Фактические данные подтверждают эту идею, но поддержит ли ее ваше понимание экономики финансов? S&P 500 может влиять на FTSE 100 из-за огромного масштаба экономики США и международного оборота капитала. Однако альтернативное предположение заключается в том, что, так как оба рынка открыты для международных инвесторов, они оба могут находиться под влиянием третьего фактора, может быть, ожидания японских или европейских инвесторов.

Ясно, что независимо от регрессионной модели необходимо развивать гипотезу для того, чтобы регрессионный анализ смог обоснованно подтвердить или не подтвердить ее. Регрессионный анализ не в состоянии доказать гипотезу, он может лишь подтвердить ее статистически или отвергнуть.

Обращаясь к диаграмме рассеяния (рис. 6.1), отметим, что через точки на графике можно провести несколько прямых линий, удовлетворяющих выражению (6.1), хотя в действительности невозможно построить одну прямую линию, которая пройдет через все точки корреляционного поля. Отсюда очевидно, что нужно выбрать лишь одну линию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Для статистической проверки взаимосвязи между зависимой и независимой переменными необходимо найти значения а, р и е в выражении (6.1). Метод оценки должен быть таким, чтобы это были наилучшие, линейные, несмещенные оценки (BLUE - Best, Linear, Unbiased Estimator).

Понятие наилучшие относится к требованию для оценок параметров быть наиболее эффективными, т.е., чтобы дисперсии