Так как математическое ожидание значений е,- равно нулю, то дисперсия Y/, которая также служит дисперсией е{, является средним значением ef , т.е.

Е(е,-0)2/л = Ъе} /л = Щ ef) = a2.

Отсюда Yj нормально распределено с параметрами N(a + PiXb о2). Это показано на рис. 6.3.

Для каждого значения X существует ожидаемое значение Yt , которое нормально распределено и которому, таким образом, мы можем приписать вероятности, т.е. это вероятностная модель.

Рис. 6.3

Определение линии регрессии

Величины аир, минимизирующие суммы квадратов отклонений У от Y , находятся следующим образом:

var* Z(X-xf

a = (F-pJr). (6.8)

Заметьте, что и ковариация и дисперсия обычно имеют делители л-1, однако они сокращаются в указанном выше выражении.

£(-2*(У -а-р*))*. (6.12)

Сумма квадратов минимальна, когда обе эти частные производные равны нулю, т.е. при

£(У-а-р*) = 0;

2>(У-а-рХ) = 0. В результате получаем:

£у = а + р][>;

(6.13)

2*У=а£* + р2*2.

Сейчас нам необходимо решить систему линейных уравнений. Начнем с умножения первого выражения на ЪХ и второго на п. Произведя эти действия, получим:

Х*Ху = па£* + р(1*)2;

(6.14)

nXY = na£x +n\i£x2 .

dSS dSS

- и - - первые производные по а и p.

Значения ошибок, называемые также остатками, рассчитываются как

е, =(/ ,-У,), (6-9)

где У,- - наблюдаемая величина У, a Yt - это оценка величины У Сумма квадратов (5) составляет

5Я = £(у-у)2 = £(У-а-р*)2, (6.10)

где аир - определяемые параметры.

= 1(-2(Г- -(*)) (6.11)

Р-£ 2 .я- (618)

При вычитании первого выражения из второго получаем: riZxY- .nfcx* -v&x? - 0( I*2 -E)2)

(6.15)

Отсюда 4>

Замещение SXh 2 К на произведения их средних на л приводит к выражению

пУХУ-nXnY Р= --т- (6-17)

Поделив числитель и знаменатель этого выражения на л, получим:

-nXY %Х2-пХ

Это то же самое, что и

Для нахождения а разделим первое из уравнений (6.13) на л, отсюда

¥ = а + \ЪХ; (6.20)

а = Р -р1.

Используя данные из табл. 6.1, относящиеся к индексам FTSE 100 и S&P 500, можно рассчитать В:

covjy ~ 4Y> - Y)} 6443874 с 9610

р var* *Z,(X--xf 1080467

а = F - \ЪХ = 2530,74 - (5,9640 391,4187) = 196,3298.