Обратившись к F-таблицам, мы видим, что табличное значение при 5%-ном уровне значимости для vi = 1 и v2 = 50 примерно равно 4. Так как значение критерия проверки больше 4, мы отвергаем нулевую гипотезу о том, что R? = 0.

Однако проверка не является особенно полезной. Она говорит только, что существует корреляция между Y и X. При толковании коэффициента детерминации необходима осторожность. Например, как индикатор степени соответствия R2 часто используется для сравнения уравнений регрессии. Хотя применить R? в подобном случае можно, только если зависимые переменные в каждом сравниваемом уравнении идентичны. Также нецелесообразно использовать R? для сравнения регрессионных моделей, которые содержат разное число объясняющих переменных. Таким образом, применение R2 при сравнении степени пригодности простой регрессионной модели и многофакторной модели (имеющей несколько независимых переменных) не оправдано.

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования. Например, предположим, что мы хотим предсказать уровень индекса FTSE 100 при росте индекса S&P 500 до 550 за

данный день. Прогнозное значение индекса составит

Когда мы используем регрессионную модель для прогноза величины Y (в данном случае это уровень индекса FTSE 100), располагая величиной X (уровень индекса S&P 500), мы хотим знать степень доверия к оцениваемому значению. Для этой цели рассчитываются стандартная ошибка оценки, а затем интервал прогнозирования.

Стандартная ошибка оценки, также известная как стандартная ошибка уравнения регрессии, определяется следующим образом (см. (6.23)):

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИИ АЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Интервал прогнозирования

Y = +196,3298 + (5,963972 550) = 3476,51 * 3477 .

К (-2)

(6.38)

Фактически это среднее квадратическое отклонение всех е,-. Интервал прогнозирования рассчитывается так:

где нижний индекс 99, относящийся к t, отражает уровень доверительной вероятности, а Л* - это значение X, используемое для прогноза, т.е. 550 для приведенного выше примера.

Стандартная ошибка оценки в отношении регрессии FTSE/S&P-, равна 5=114,27. Интервал прогнозирования составляет

= 3476 ± 2,500 114,27 1,1189 = 3476 ± 319,65.

Таким образом, мы можем полагать с вероятностью 99%, что если индекс S&P 500 вырастет До 550, то индекс FTSE 100 увеличится до 3476 ± 320, т.е. будет находиться между 3156 и 3796.

Ложная регрессия

Приведенный выше пример регрессионного анализа основывался на данных, относящихся к фондовым индексам. Однако использование данных, относящихся к уровням нен. может привести к так называемой ложной регрессии (spurious regression). Ложная регрессия может возникнуть при анализе данных, когда величина наблюдений каждой из переменных имеет тенденцию к росту (или понижению) с течением времени. Эта тенденция создает уровень корреляции, который переоценивает любую рассматриваемую причинную связь. Данные, относящиеся к переменным, выраженным в виде денежных единиц или финансовых агрегатов, стремятся к росту с течением времени и, таким образом, особенно чувствительны к этой проблеме.

Исследование взаимосвязи между изменениями уровня одной переменной и изменениями уровня другой может привести к отличному от истины результату. По этой причине, когда регрессионный анализ применяется для временных рядов финансовых переменных, часто рассчитываются изменения уровней ис-

(6.39).

3476 ± 2,500 114,27 ,1 + 0,0192 +

(5S0-391.42)2 108046,7

пользуемых данных либо в качестве альтернативы изменения могут быть преобразованы в форму процентных доходов (например, (Р\-Ро)/Ро или In P\/Pq). По сути мы ищем возможность для преобразования имеющихся данных в стационарные, так как существуют методы для анализа подобных данных (см. гл. 7, где эта тема развивается).4 Мы проанализировали данные уровней в этом разделе по причине интуитивной, может быть, даже ложной связи между двумя рынками акций. Исправим эту ситуацию в следующем разделе.

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Редко поведение зависимой переменной объясняется только с помощью одной независимой переменной. Обычно несколько независимых переменных, используемых в комбинации, предлагают лучшее объяснение. Регрессионная модель, включающая несколько независимых переменных, известна как множественная регрессия.

Истинная взаимосвязь между зависимой переменной Y и различными независимыми переменными Xt выражается так:

Y=a+ p,A + р2Л 2 + ... + РД + е. (6.40)

Однако, как и в случае простой линейной регрессии, мы не знаем истинную взаимосвязь и вынуждены делать оценки:

У = d + р + р2Л2 + ... + (* * . (6.41)

В/ представляют частные производные Y по соответствующим Xj, например,

я <зг . д? dY .....

Pl av h ~ aV Рй aV (6l42)

в предположении, что все остальные Xt постоянны.

Вспомним, что в случае простой регрессии постоянная представляла собой величину зависимой переменной, когда независимая переменная имела нулевое значение. Однако при множественной регрессии толкование постоянной является более сложным. В некоторых моделях постоянный член оценивается a priori, в других случаях значимая постоянная может представлять средний эффект, оказываемый на У любыми независимыми