переменными, которые не были включены в модель. Отсюда значимая постоянная может представлять некоторую важную объясняющую переменную, исключенную из проверяемой модели.

Чтобы проиллюстрировать множественную регрессию, рассмотрим гипотезу о том, что доходы по индексу FTSE 100 определяются доходами на рынке государственных облигаций Великобритании (переменная Х\), доходами по индексу S&P 500 (переменная Х2) и доходами по обменному курсу US$/£ (Х).

Существует много пакетов программ, которые способны решить подобную проблему множественной регрессии. Типичный результат будет похож на следующее:

Y=- 0,215 + 0,209*! + 0,934*2 - 0,302*3

(-0,39) (1,02) (6,42) (-2,54)

Л2 = 0,52 СС= 47. Скорректированный В? = 0,49;

DW= 2,3, F= 26,0,

/-критерий приведен в скобках, СС означает степени свободы,

DW относится к критерию Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson), который связан с автокорреляцией и обсуждается далее в этой главе.

Замечание: данные для этой задачи взяты из приложения 6.2.

Результаты могут быть интерпретированы следующим образом: если Х2 и Х-} постоянны, при изменении Х\ на единицу изменение Y составит 0,209. Аналогично, если Х\ и Х постоянны, изменение Х2 на единицу приведет к изменению Уна 0,934 единицы.

Числа в скобках могут представлять стандартные ошибки коэффициентов либо /-критерии.

Допущения относительно использования метода наименьших квадратов для многофакторных моделей те же самые, что и для однофакторной модели. Однако многофакторная модель имеет дополнительное допущение о том, что независимые переменные независимы друг от друга, т.е. cov (xj, х) = 0 (J * к).

Обратимся к толкованию результата, полученного с помощью компьютера, /-критерии для каждой независимой перемен-

ной истолковываются так же, как и раньше. Однако в случае многофакторной регрессии они имеют /-распределение с п-к- 1 степенями свободы.

Если существует к независимых переменных, то будет к + 1 коэффициентов регрессии (включая постоянную), отсюда число степеней свободы составит n-(k + 1) или п-к-1.

Поскольку в изложенном выше примере 47 степеней свободы, то при уровне доверительной вероятности 95% значение /-критерия должно быть больше 2,02, а при уровне доверительной вероятности 99% потребовалось бы, чтобы /-критерий был больше для обеспечения значимости коэффициентов регрессий 2,70. Таким образом, в приведенном выше примере постоянный коэффициент и переменная Х\ не будут значимо отличаться от нуля, но две другие переменные значимы при уровне вероятности 95%, а Аг значима и при уровне доверительной вероятности 99%.

Скорректированный r2 : r2

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных. Скорректированный Я2, или R2, рассчитывается так:

R2 = 1 - (1 - Л2)-, (6.43)

И - К

где и - число наблюдений;

к - число независимых переменных.

Для иллюстрации вспомним ранее вычисленный R2 с тремя переменными, равный 0,52, для него

(1-0,52).!

= 0,49223.

Скорректированный R2 уменьшится по величине, если дополнительная переменная незначима. Однако необходимо предостеречь против включения и исключения переменных только лишь из-за их влияния на скорректированный R2. Рациональной базой для включения и исключения служит теория, стоящая за проверяемой моделью. Отсюда переменная, которая имеет силь-

ное теоретическое основание для включения, должна быть добавлена в модель, даже если скорректированный R? от этого не улучшится.

Проверка значимости скорректированного В? - это также проверка значимости связи между зависимой переменной Y и любой из независимых переменных Лу. Действительно, если регрессионная модель имеет высокую степень предоставления объяснения формирования взаимосвязи, изменение зависимой переменной происходит из-за изменений независимых переменных, и суммы квадратов отклонений, объясняемые регрессией (СКР) будут относительно больше остаточной суммы квадратов отклонений (СКО). Если же модель имеет низкую степень предоставления объяснения, изменение зависимой переменной происходит из-за изменения значения ошибки, и СКО будет относительно больше СКР.

Критерий проверки вычисляется как

---f., , <6. )

Таким образом, этот критерий проверки имеет / -распределение с к-l степенями свободы в числителе и п-к степенями свободы в знаменателе.

В числовом выражении:

0,52 f(S 1-3)1

F~ Г52 [1JT0J 1,0833 24 ~26

Критическое значение 1% F-критерия для двух степеней свободы в числителе и 48 - в знаменателе составляет 5,08. Так как правило принятия решения для проверки нулевой гипотезы R2 = 0 состоит в том, чтобы отвергнуть Щ, если F больше критического значения, то мы отвергаем нулевую гипотезу.

Тест Чоу для проверки равнозначности коэффициентов в подперподах

Иногда бывает необходимо проверить какую-либо гипотезу в различные периоды времени. В подобной ситуации нужно знать, являются ли полученные коэффициенты из отдельных временных