периодов действительно значительно разными, либо эти различия случайны. Для этой цели мы можем применить тест Чоу. Тест Чоу проводится в три этапа:

1. Производим расчеты уравнения регрессии для всего ряда данных и определяем остаточную сумму квадратов отклонений (СКО). Обозначим ее CKOi.

2. Производим расчет регрессионной модели отдельно для различных периодов времени и определим собственные СКО в этих периодах. Допустим, что имеются два подпериода, один из п наблюдений, а другой из т. Таким образом, получим СК02 и ско3.

3. Рассчитаем критерий Чоу следующим образом:

где пит - число наблюдений в каждой соответствующей подгруппе.

Критерий Чоу имеет -распределение с к степенями свободы в числителе и т + п-2к степенями свободы в знаменателе.

Важно определить, выполнялись ли допущения МНК. Особенно важно провести проверку на:

гетероскедастичность - дисперсия остатков не является постоянной;

автокорреляцию - остатки независимы;

мультиколлинеарность - независимые переменные некоррелированны.

Гетероскедастичность

Если остатки имеют постоянную дисперсию, они называются гомоскедастичными, но если они непостоянны, то гетероскеда-стичными. Гетероскедастичность приводит к тому, что коэффициенты регрессии больше не представляют собой лучшие оценки или не являются оценками с минимальной дисперсией, следова-

(CKO, - СК02 - СК03) / к (СК02 + СК03) / (я + т - 2к)

(6.45)

РАССМОТРЕНИЕ ПОПУЩЕНИЙ МНК

тельно, они больше не являются наиболее эффективными коэффициентами.

Воздействие гетероскедастичности на оценку интервала прогнозирования и проверку гипотезы заключается в том, что хотя коэффициенты не смещены, дисперсии и, следовательно, стандартные ошибки этих коэффициентов будут смещены. Если смещение отрицательно, то оценочные стандартные ошибки будут меньше, чем они должны быть, а критерий проверки будет больше, чем в реальности. Таким образом, мы можем сделать вывод, что коэффициент значим, когда он таковым не является. И наоборот, если смещение положительно, то оценочные ошибки будут больше, чем они должны быть, а критерии проверки - меньше. Значит, мы можем принять нулевую гипотезу, в то время как она должна быть отвергнута.

Проверкой на гетероскедастичность служит тест Голдфелда- Кванта. Он требует, чтобы остатки были разделены на две группы из п наблюдений, одна группа с низкими, а другая - с высокими значениями. Обычно срединная одна шестая часть наблюдений удаляется после ранжирования в возрастающем порядке, чтобы улучшить разграничение между двумя группами. Отсюда число остатков в каждой группе составляет (я-с)/2, где с представляет одну шестую часть наблюдений.

Критерий Голдфелда-Кванта - это отношение суммы квадратов отклонений (СКО) высоких остатков к СКО низких остатков:

Этот критерий имеет / -распределение с (п-с)/(2-к) степенями свободы.

Чтобы решить проблему гетероскедастичности, нужно исследовать взаимосвязь между значениями ошибки и переменными и трансформировать регрессионную модель так, чтобы она отражала эту взаимосвязь. Это может быть достигнуто посредством регрессии значений ошибок по различным формам функций переменной, которая приводит к гетероскедастичности, например,

е, = а + 0Л/, (6.47)

где X/ - независимая переменная (или какая-либо функция независимой переменной), которая предположительно является

причиной гетероскедастичности, а Н отражает степень взаимосвязи между ошибками и данной переменной, например, X2 или и т. д.

Следовательно, дисперсия коэффициентов запишется:

До,2) = Л,я. (6.48)

Отсюда если Н = 1, мы трансформируем регрессионную модель к виду

i = + р, . (6.49)

Если Н = 2, т.е. дисперсия увеличивается в пропорции к квадрату рассматриваемой переменной X, трансформация приобретает вид

Автокорреляипя

Автокорреляция, также известная как сериальная корреляция, имеет место, когда остатки не являются независимыми друг от друга, потому что текущие значения Y находятся под влиянием прошлых значений. Зависимость между остатками описывается с помощью авторегрессионной схемы. Например, допустим, что остаток е, находится под влиянием остатка из предыдущего периода времени e, i и какого-либо текущего значения случайной переменной Zt- Остаток е, будет описываться следующей авторегрессионной функцией:

e,= pe, x+Zt. (6.51)

Эта форма авторегрессионной функции называется авторегрессионной функцией первого порядка или АР(1), так как только один предшествующий временной период включен в функцию.

Если бы текущий остаток находился под влиянием, скажем, двух или четырех предшествующих остатков, авторегрессионные функции АР(2) и АР(4) выглядели бы так:

АР(2): е, = р, х е, х + р, 2 е, 2 + Z{, (6.52)

АР(4): е, = Р/ , е, х + р, 2 е, 2 + р, 3 е, 3 + р, 4 е, 4 + Zr (6.53)