ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Иногда необходимо включение в регрессионную модель одной или более качественных переменных, например, инвесторы мужского и женского пола. Альтернативно может понадобиться сделать качественное различие между наблюдениями одних и тех же данных. Например, если проверяется взаимосвязь между размером; компании и месячными доходами по акциям, может быть желательным включение качественной переменной, представляющей месяц январь, по причине хорошо известного январского эффекта во временных рядах доходов по ценным бумагам. Данный январский эффект - это феномен, заключающийся в том, что средние доходы по акциям, особенно небольших компаний, в среднем выше в январе, чем в другие месяцы. Таким образом, если мы рассматриваем январские наблюдения как качественно отличные от других наблюдений, фиктивная переменная (D) позволит произвести подобное качественное различие.

Фиктивные переменные используются также для отражения действия качественных эффектов изменений политики правительства на анализируемые данные. Например, при исследовании воздействия валюты на уровень фондового индекса следует принять к сведению то, что валюта входит или выходит из валютного блока. Например, исследования индекса FTSE 100, которые включают август/сентябрь 1992 г., будут вынуждены учесть выход фунта стерлингов из механизма обменных курсов Европейской валютной системы (ЕВС).

Фиктивные переменные бывают двух типов - сдвига и наклона. Фиктивная переменная сдвига - это переменная, которая меняет точку пересечения линии регрессии с осью ординат в случае применения качественной переменной. Фиктивная переменная наклона - это та переменная, которая изменяет наклон линии регрессии в случае использования качественной переменной- Оба типа фиктивных переменных будут иметь значение +1 или -1, когда наблюдения данных совпадают с уместной количественной переменной, но будут иметь нулевое значение при совпадении с наблюдениями, где эта качественная переменная отсутствует. Рис. 6.5 и 6.6 иллюстрируют эти определения.

Y = a +piJf + 3JZ)

Рис. 6.5. Фиктивная переменная сдвига

Рис. 6.6. Фиктивная переменная наклона

Чтобы проиллюстрировать фиктивную переменную сдвига, рассмотрим снова январский эффект . Для проверки взаимосвязи между размером компании и доходами инвесторов необходимы данные, относящиеся к размеру компании за каждый месяц, к доходам по акциям компании за тот же месяц и качественная переменная (январь). Переменная январь будет представлена фиктивной переменной со значением единицы для наблюдений января и с нулем для всех других месяцев. Регрессия кросс-секции месячных доходов по размеру компании и отношениям к январю выглядит так:

где величина D равна единице, когда наблюдения дохода и размера относятся к январю, и нулю, когда эти наблюдения относятся к другим месяцам.

В примере с индексом FTSE 100 в модель добавляется фиктивная переменная со значением 1, когда данные наблюдений совпадают с пребыванием фунта стерлингов в ЕВС, и со значением нуль, когда фунт стерлингов не был в ЕВС.

Для иллюстрации фиктивной переменной наклона рассмотрим эффективность деятельности инвестиционных менеджеров. -Если они имеют навыки по выбору времени на рынке, доходы по их портфелям должны расти быстрее или падать меньше, чем в целом по рынку.

Этот подход был использован Хенрикссоном и Мертоном (1981), которые применили фиктивные переменные в линейной регрессии следующей формы

rt = а + р,размер, + \b2D + eh

(6.61)

rp-rf=a + p(rm - rj) + c[D(rm - rj)\ + ep, (6.62)

где rp - ry- превышение дохода по портфелю; гт - гу- превышение дохода по рынку в целом.

Фиктивная переменная D равна нулю, кода доходы по рынку в целом больше, чем безрисковая ставка г у и - 1, когда доходы по рынку в целом меньше тЗезрисковой ставки.

Это выражение истолковывается следующим образом. Когда доходы по рынку в целом выше, чем безрисковая ставка, D = О, и, следовательно, выражение (6.62) сокращается:

rp-rf=a + р(гот - г}, + вр, (6.63)

а когда доход по портфелю меньше безрисковой ставки, D = - 1, то выражение (6.62) сокращается до следующего:

r - rf= a + (р - c)(rm -rj) + ер. (6.64)

Отсюда, так как р соответствует коэффициенту регрессии, когда рынок в целом дает доходы выше безрисковой ставки, а (Р - с) соответствует портфелю р, когда рынок в целом дает доходы ниже безрисковой ставки, то с - это разность между двумя коэффициентами, отражающая, что инвестиционный менеджер имеет навыки по выбору времени на рынке. Если с положительна, то наклон линии регрессии будет менее крутым, чем при нулевом с.

Положительная а в выражениях (6.63) и (6.64) показывает, что инвестиционный менеджер имеет положительные навыки выбора акций.

Фиктивные переменные могут применяться в более чем одном качественном различии переменных. Например, сезонные колебания данных. Если мы предположим, что в Великобритании из-за окончания налогового года в апреле доходы по ценным бумагам имеют качественные отличия в январе и апреле, то для изучения взаимосвязи между месячными доходами и размером будут нужны две фиктивные переменные. Действительно, когда существует п качественных состояний данных, необходимо иметь -1 фиктивных переменных. В нашем примере присутствуют три качественных состояния данных дохода и размера - данные, относящиеся к январю, данные, относящиеся к апрелю,