и данные, относящиеся к остальным месяцам. Значит, понадобятся две фиктивные переменные.

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

До сих пор обсуждение было сфокусировано на линейной регрессии. Однако может случиться так, что взаимосвязь между зависимой переменной и одной или более независимыми переменными будет нелинейной. Существуют два пути решения этой проблемы:

1) преобразовать данные и применить линейную регрессию;

2) применить методы нелинейной регрессии.

Нелинейная регрессия не обсуждается в этой книге, так что далее остановимся на преобразовании данных.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАННЫХ

Графики на рис. 6.7 показывают разнообразные взаимосвязи между К и X, не являющиеся линейными. Однако при соответствующем преобразовании Y, а и X взаимосвязь между Y и X может быть трансформирована в линейную для а и Ь. Таким образом, далее можно использовать МНК

Рассмотрим три нелинейные формы, отображенные на рис. 6.7. На верхних графиках функциональной формой является Y = аХ3, где 0 < В < 1 или В > 1. Преобразование в этих случаях заключается во взятии натурального логарифма от Y, а и X. Получающееся уравнение регрессии будет выглядеть так:

In У= In а + р In X. (6.65)

Преобразование для нижнего правого графика очень простое, если учесть, что 1/Х может участвовать в расчете как независимая переменная.

При всех этих преобразованиях необходимо конвертировать результат в нелинейную форму для его правильного истолкования.

Рис. 6.7

ПРИМЕНЕНИЕ

РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА В ХЕДЖИРОВАНИИ

Цель хеджирования состоит в устранении риска для портфеля активов Хеджирование длинной позиции (на покупку) по активу, имеющему риск, достигается занятием короткой позиции (на продажу) в некоторой пропорции от стоимости портфеля по другому, но высококоррелированному рискованному активу. Для иллюстрации этого рассмотрим портфель, имеющий длинную позицию по активу А, которую желательно захеджировать путем занятия короткой позиции по фьючерсному контракту на актив А. До установки хеджа необходимо ответить на два вопроса:

1. По какому инструменту занять короткую позицию?

2. Какую пропорцию от стоимости длинной позиции должна представлять короткая позиция, чтобы минимизировать дисперсию всего портфеля?

На первый вопрос легко ответить, рассмотрев коэффициент корреляции изменений цены длинной позиции и потенциаль-

ных кандидатур для короткой позиции. Следует выбрать кандидатуру с наивысшей корреляцией с длинной позицией. В данном примере мы допускаем, что это фьючерсный контракт.

Что касается второго вопроса, пропорция короткой позиции называется коэффициентом хеджирования. Для нахождения этих коэффициентов часто используется МНК регрессия.

Чтобы понять это, рассмотрим снова длинную позицию по облигации с доходом по ней RB. Определено, что высококоррелированным инструментом является фьючерс на облигации. Доход по фьючерсу выражается в виде Rf.

Доходы по захеджированному портфелю, т.е. состоящему из длинной позиции по одной единице облигации и короткой по соответствующей величине А фьючерсного контракта, определяются так:

RP = (RB- hRF), (6.66)

где А - коэффициент хеджирования.

Дисперсия доходов по портфелю составляет

o2Rp = o2RB - 2h co\(RB, RF) + AVfy. (6.67)

Для нахождения коэффициента хеджирования А, который минимизирует дисперсию захеджированного портфеля, следует продифференцировать выражение (6.67) по А и приравнять производную к нулю:

d{o2RB-2hcov{RB,RF) + h2o2RF) -------~-- = -2cow(RB,RF) + 2fK,2Rf . (6.68)

Чтобы приравнять это к нулю, нужно, чтобы

2ho2RF = 2cov(Ae, RF). (6.69)

В таком случае А равно

h- ****), (6.70)

a2RF

А признается аналогичным В - наклону линии регрессии

RB=a+ $RF+ е. (6.71)

Таким образом, коэффициент наклона В дает коэффициент хеджирования. На практике регрессия строится с использованием АРВ/РВ и APf/Pf, где Р представляет цены облигации и