36,3. Другие участки главной диагонали

36.3.1. Когда xi выходит за пределы области (36:А) из п. 36.2.1, т. е. когда эта переменная переходит границу в х± = -1/5, множество V из (36:3) перестает быть решением. В самом деле, можно найти решение, которое справедливо в некоторой области при xt > -1/5 (присоединяя х± = -1/5) и которое получается добавлением к V из (36:3) следующих дележей:

Точная формулировка теперь такова:

(36:В) Множество V из (36:3) и (36:10) является решением в том и только в том случае, когда -1/5 < х{ 0 2).

Доказательство (36:В) имеет тот же вид, что и приведенное выше доказательство (36:А), и мы не предполагаем здесь его обсуждать.

Области (36:А) и (36:В). исчерпывают ту часть всего допустимого интервала -1 rg xv 5g 1, на которой xt 0, т. е. половину У 7-центр диагонали У 7-центр-/.

36.3.2. Решения, аналогичные множеству V, описанному в (36:А) из п. 36.2.1 и в (36:В) из п. 36.3.1, можно найти по другую сторону х± > 0 диагонали, т. е. в половине центр-/. Оказывается, что в этой половине встречаются такие же качественные изменения, как в первой половине, описанной в (36:А) и в (36:В). Фактически существуют три таких интервала, именно:

а VIIJ Центр /

(36:С) 0xt<±9

(36:D) 1<,

л Рис. 44.

(36:Е) у Xil

(см. рис. 44, который следует сравнить с рис. 43).

Мы не будем обсуждать решения, соответствующие областям (36:С), (36:D), (36:Е)3).

Читатель, однако, может заметить, что xt = 0 принадлежит обеим (соседним) областям (36:В) и (36:С) и аналогично, xt = 1/3 принадлежит обеим областям (36:D) и (36:Е). Как показывает тщательная проверка соответствующих решений, это происходит потому, что, хотя в х = 0 и 1/3 имеются качественные изменения, эти изменения не являются разрывными.

г) Анализ проведенного выше доказательства показывает, что когда х± становится > - 1/5, это оказывается неверным: множество £=(1, 3) (и вместе с ним (2, 3)) перестает

быть эффективным для а!. Зато, конечно, восстанавливается трехэлементное множество S = (1, 2, 3), которое было раньше исключено, так как множество (1, 3) (и (2, 3)) содержалось в нем.

Таким образом, доминирование этим элементом а из V теперь становится более трудным, и, следовательно, неудивительно, что в поисках решения приходится рассматривать некоторое расширение множества V.

2) Заметим, что разрыв в = -1/5 принадлежит (36:А), а не (36:В)! Точная теория совершенно недвусмысленна, даже в таких вопросах.

3) Другое семейство решений, также покрывающих часть этой же области, будет рассматриваться в п. 38.2. См., в частности, п. 38.2.7 и сноску 2 на стр. 342.

С другой стороны, точка х = 1/9 не принадлежит ни одной из соседних областей (36:С) или (36:D). Оказывается, что оба решения V, справедливые в этих двух областях, неприменимы в точке х± = 1/9. Условия в этой точке до сих пор еще недостаточно ясны.

§ 37. ЦЕНТР И ЕГО ОКРЕСТНОСТИ 37.1. Первоначальная ориентировка в отношении условии около центра

37.1.1. Рассмотрения предыдущего параграфа ограничивались одномерным подмножеством куба Q, именно диагональю FJ/7-центр-/. Используя перестановки игроков 1, 2, 3, 4 так, как описано в п. 34.3, эти рассуждения можно распространить на все четыре главные диагонали Q. Методами, аналогичными методам предыдущего параграфа, можно также найти решения вдоль некоторых других одномерных линий в Q. Таким образом, в Q существует обширная сеть линий, на которых решения известны. Мы не предполагаем их перечислять по той причине, что информация, которую можно на этом пути получить, вероятно/ соответствует теперь только временному состоянию дел.

Однако нужно заметить, что такой поиск решений вдоль отдельных изолированных одномерных линий, когда исследования ждет весь трехмерный массив куба Q, может быть разве лишь первым подходом к задаче. Если мы сможем найти такую трехмерную часть куба, хотя бы и малую, для всех точек которой годится один и тот же качественный тип решения, то мы будем иметь некоторое представление об условиях, которые следует ожидать. Оказывается, существует такая трехмерная часть вблизи центра Q. По этой причине мы будем обсуждать условия около центра.

37.1.2. Центр соответствует значениям координат хи х2, х3, равным О, 0, 0, и представляет собой, как было выяснено в п. 35.3.1, единственйую (полностью) симметричную игру в нашем множестве. Характеристическая функция этой игры принимает значение

(37:1) у (S) = \ 0, если S имеет

Г О 1

2 элементов

I о U

(см. (35:8)). Как и в соответствующих случаях в пп. 35.1, 35.2, 36.1, мы снова начинаем с эвристического анализа.

Очевидно, в этой игре целью всех стратегических усилий является образование коалиции из трех лиц. Ясно, что игрок, остающийся в одиночестве, проигрывает; в этом же смысле любая коалиция из трех лиц выигрывает; если же окончательно образуются двекоалиции по два игрока в каждой, то, очевидно, этот случай интерпретируется как ничья.

Здесь возникает следующий качественный вопрос. Целью в описанной игре является образование коалиции из трех лиц. Возможно, что в переговорах, предшествующих каждой из партий, сначала будет составляться коалиция из двух лиц. Эта коалиция будет затем договариваться с двумя остающимися игроками, пытаясь войти в соглашение с одним из них против другого. После того, как участие этого третьего игрока обеспечено, встает вопрос, будет ли он допущен в окончательную коалицию на тех же самых условиях, что и два первоначальных члена, илцнет. Если ответ

утвердителен, то общий выигрыш окончательной коалиции, равный 1, будет разделен поровну между тремя участниками: 1/3, 1/3, 1/3. Если же ответ отрицателен, то два исходных члена- (принадлежащих начальной коалиции из двух лиц), вероятно, получат одинаковый выигрыш, но больший чем 1/3. Таким образом, единица будет разделена на части:

j + е, у + е, -j - 2е, где е > 0.

37.1.3. Первая альтернатива аналогична той, которую мы рассмотрели при анализе точки / в п. 35.1. Здесь участники входят в коалицию (1, 2, 3), если она вообще образуется, на равных правах. Вторая альтернатива соответствует ситуации в интервале, проанализированном в пп. 36.1-2. Здесь первоначально объединяются любые два игрока (причем ни один из них не может быть игроком 4), и эта коалиция затем допускает к участию одного из оставшихся игроков на менее благоприятных условиях.

37.1.4. Ситуация, с которой мы имеем дело сейчас, не вполне аналогична каждой из упомянутых.

В первом случае коалиция (1, 2) не смогла бы предъявить жесткие требования игроку 3, так как он им совершенно необходим: если 3 объединится с 4, то 1 и 2 полностью проиграют; точно так же (1, 2) как коалиция не смогла бы объединиться с 4 против 3, так как игроку 4 нужен для победы только один из них (см. описание в п. 35.1.3). В рассматриваемой теперь игре это не так: коалиция (1, 2) может использовать как 3, так и 4, и даже если 3 и 4 объединятся против нее, то получится лишь ничья.

Во втором случае дискриминация участника, который присоединяется к коалиции последним, правдоподобна, так как исходная коалиция из двух имеет гораздо более прочное строение, чем окончательная коалиция из трех. В самом деле, когда х± стремится к -1, последняя коалиция перестает чего-либо стоить (см. замечания в конце п. 36.1.2). В нашей игре такого качественного различия усмотреть нельзя. Первая коалиция (из двух) рассчитывает на поражение или ничыб, а образование окончательной коалиции (из трех) решает, будет ли ничья или победа.

Мы не имеем удовлетворительного основания для решения, кроме опробования обеих альтернатив. Однако перед тем, как это сделать, обратим внимание на важное ограничение наших рассмотрений.

37.2. Две альтернативы и роль симметрии

37.2.1. Заметим, что мы предполагаем, что одна и та же из двух вышеупомянутых альтернатив имеет место для всех четырех коалиций из трех игроков. В самом деле, сейчас мы ищем только .симметричные решения,

т. е. решения, которые содержат вместе с дележом а = {аи а2, а3, а4} все его перестановки.

Далее, из симметрии игры, вообще говоря, никоим образом не следует симметрия каждого из ее решений. Дискриминирующие решения, обсуждавшиеся в п. 33.1.1, делают это ясным уже для игры трех лиц. В п. 37.6 мы найдем дальнейшие примеры этого для симметричной игры четырех лиц, которую мы сейчас рассматриваем.

Однако следует ожидать, что асимметричные решения симметричной игры имеют слишком неясный характер, чтобы их можно было обнаружить при таком эвристическом обзоре, который мы сейчас проводим. (См. аналогичные явления в игре трех лиц, на которую ссылались выше.) Из-за этого мы сейчас ищем только симметричные решения.