37.2.2. Нужно сказать еще одну вещь: вполне допустимо, что, в то время как асимметричные решения существуют, общие организационные принципы, подобные принципам, соответствующим нашим двум альтернативам, либо справедливы для совокупности всех участников, либо вообще неверны. Это допущение вытекает из того, что число участников все еще очень мало, и действительно, может быть, слишком мало, чтобы оказалось возможным образование нескольких групп участников с различными принципами организации. Действительно, мы имеем дело только с четырьмя участниками, а, с другой стороны, ясно, что три - это минимальное число для какой-либо организации. Эти несколько неопределенные соображения найдут точное подтверждение по крайней мере в одном частном случае в (43:L) и в следствии из п. 43.4.2. В данный момент, однако, мы не в состоянии снабдить их каким-либо строгим доказательством.

37.3. Первая альтернатива в центре

37.3.1. Рассмотрим теперь две альтернативы из п. 37.1.2. Мы будем разбирать их в обратном порядке.

Предположим сначала, что два исходных участника принимают в свою коалицию третьего, только на менее благоприятных условиях. Тогда первую коалицию (из двух) нужно рассматривать как ядро, вокруг которого формируется окончательная коалиция (из трех). В этой последней фазе от первой коалиции следует ожидать, что она будет действовать в своих отношениях с двумя другими игроками как единый игрок, делая, таким образом, игру похожей на игру трех лиц. Если эта точка зрения является здравой, то мы можем повторить соответствующие рассуждения из п. 36.1.3.

Например, при выборе в качестве первой коалиции игроков (1, 2) предполагаемая игра трех лиц происходит между игроками (1, 2), 3, 4. Следовательно, рассуждения, на которые делалась ссылка выше, переносятся сюда полностью, только с измененными численными значениями: а = 0, Ъ = с = 1, откуда а = 1, р = у = 0 х).

Так как первая коалиция может состоять из любых двух игроков, эвристические обоснования, аналогичные обоснованиям, примененным при обсуждении игры трех лиц (в §§ 21, 22), позволяют ожидать, что партнеры в этой игре разобьются поровну: когда будет найден союзник равно как и в случае ничейного результата, причем подлежащий разделу выигрыш будет соответственно равен 1 или 0.

Замечание. В этом случае аргументация гораздо слабее, чем в ранее рассмотренном случае (или в соответствующем приложении в п. 36.1.3), так как любая первая коалиция может теперь достигнуть конца двумя различными способами (с ничьей или с победой). Единственное удовлетворительное решение о ценности аргументации получается лишь при применении точной теории. Желательная проверка фактически содержится в доказательстве пп. 38.2.1-3; в самом деле, это частный случай

г/1 = Z/2 = г/з = 1/4 = 1

из (38:D)* в п. 38.2.3.

37.3.2. Резюмируем: если сделанные выше предположения оправдываются, то положение дел таково.

Если первая коалиция есть (1, 2) и ей удается найти союзника и если игроком, который соединяется с ней в окончательной коалиции, является игрок 3, то игроки 1, 2, 3, 4 получают соответственно выигрыши 1/2,

х) Существенная разница между этим рассуждением и тем, на которое мы ссылались, состоит в том, что теперь игрок 4 больше не исключается из первой коалиции.

1/2, 0, -1. Если первая коалиция не имеет в этом отношении успеха, т. е. если происходит ничья, то эти выигрыши заменяются на 0, 0, 0, 0.

Если имеется другое распределение игроков, то к изложенному нужно применить соответствующую перестановку игроков 1, 2, 3, 4.

Теперь необходимо подвергнуть все сказанное строгой проверке. Наши эвристические догадки, очевидно, соответствуют следующему предположению.

Пусть V - множество следующих дележей:

(37:2) a={-i, 1, 0, -l} ,

и дележи, получающиеся из этих перестановкой игроков а = {0, 0, 0, 0} (т. е. компонент) 1, 2, 3, 4.

Мы ожидаем, что это множество V является решением.

Строгое рассмотрение, аналогичное проведенному в п. 36.2, показывает, что это множество V действительно оказывается решением в смысле п. 30.1. Мы не приводим его здесь главным образом из-за того, что оно содержится в более общем доказательстве, которое будет дано позже (см. замечание на стр. 330).

37.4. Вторая альтернатива в центре

37.4.1. Предположим теперь, что в окончательной коалиции из трех игроков все ее участники имеют равные права. Тогда, если, например, эта коалиция образована из игроков 1, 2, 3, то игроки 1, 2, 3, 4 получают соответственно выигрыши 1/3, 1/3, 1/3, -1.

Было бы поспешным вывести из этого, что полученное множество дележей V будет являться решением, т. е. что решением будет множество

следующих дележей а = {аи а2, ос3, а4}:

/37*3) а = \ - - - ll и такие же перестановки,

I 3 3 3 J как в (37:2).

Мы еще не предприняли попыток понять, как может произойти мгновенное образование окончательной коалиции, не предполагая предварительного существования привилегированного ядра из двух лиц.

37.4.2. В предыдущем решении (37:2) такое объяснение вполне естественно. Слоистая форма окончательной коалиции выражается дележом а, и мотив для оправдания этой схемы лежит в угрозе ничьей, выраженной дележом а . Точнее говоря, дележ а образует решение только

вместе с а , но не сам по себе.

В (37:3) этот второй элемент отсутствует. Прямая проверка в смысле

п. 30.1 обнаруживает, что а удовлетворяет условию (30:5:а), но не (30:5:Ь), т. е. что эти дележи не доминируют друг друга, но остаются некоторые другие недоминируемые дележи. Следовательно, к V должны быть еще добавлены некоторые элементы*).

х) Для избежания неверного понимания заметим, что, вообще говоря, ни в каком отношении не является верным, что любое множество недоминируемых друг другом дележей можно пополнить до решения. В самом деле, задача о том, является ли данное множество дележей подмножеством некоторого (неизвестного) решения, еще не решена. В настоящем случае мы только выражаем надежду, что такое обобщение окажется возможным для конкретного V из (37:3), и эта надежда в дальнейшем оправдается. См. п. 30.3.7.

В это добавление, конечно, не входит ос = {0, 0, 0, 0} из (37:2),

так как этот дележ может доминироваться дележом ос *). Другими словами, расширение (т. е. стремление к устойчивости в смысле п. 4.3.3)

ос до решения должно быть достигнуто при помощи совершенно других

-> -*

дележей (т. е. угрозами) как в случае ос из (37:3), так и в случае ос из (37:2).

Представляется очень трудным найти эвристическую мотивировку для шагов, которые становятся теперь необходимыми. К счастью, однако, с этого места можно перейти к строгой процедуре, делая, таким образом, дальнейшие эвристические рассмотрения необязательными.

В самом деле, можно строго доказать, что существует ровно одно

симметричное расширение множества V из (37:3) до решения. Это про-

->

исходит добавлением следующих дележей ос = {аь ос2, а3, ос4}:

-> Г 1 1 1 \ л

(37:4) ocIV= 1 -3- 3- t --3- у - з г и перестановки, как и в (37:2).

37.4.3. Если желательна интерпретация этого решения, т. е. его

составляющей ocIV из (37:4), с точки зрения здравого смысла, то нужно сказать, что оно вовсе не оказывается ничьей (аналогично соответствую-

щему а из (37:2)); более того, оно оказывается некоторым компромиссом между частью (двумя членами) возможной выигрывающей коалиции и двумя остальными игроками. Однако, как отмечено выше, мы не пытаемся найти полную эвристическую интерпретацию множества V из (37:3) и (37:4); в самом деле, вполне может оказаться, что эта часть точной теории уже выходит за пределы таких возможностей 2). Кроме того, несколько последующих примеров проиллюстрируют специфические особенности решения на гораздо более широкой основе. Мы снова воздерживаемся от приведения здесь строгого доказательства по указанным выше причинам. 1

37.5. Сравнение двух центральных решений

37.5.1. Два решения (37:2) и (37:3), (37:4), которые мы нашли для игры, описываемой центром, дают нам новый пример возможной множественности решений. Конечно, это явление мы наблюдали и раньше, именно в случае существенной игры трех лиц в п. 33.1.1. Но там все решения, за исключением одного, были в некотором смысле аномальными (мы обозначали это, употребляя термин дискриминирующий ). Только одно решение в этом случае состояло из конечного множества дележей; это единственное решение обладало такой же симметрией, как и сама игра (т. е. оно было симметричным относительно всех игроков). На этот раз условия совершенно иные. Мы нашли здесь два решения, каждое из кото-рыхявляется конечным множеством дележей 3) и обладает полной симметрией игры. Обсуждение п. 37.1.2 показывает, что каждое из этих решений трудно рассматривать как аномальное или как дискриминирующее

г) По множеству S = (1, 2, 3).

2) Это явление широко распространено в математических теориях физического происхождения, даже если они берут начало из эвристических рассмотрений.

3) Простой подсчет указанных дележей и их различных перестановок показывает, что решение (37:2) состоит из 13 элементов, а решение (37:3), (37:4) - из 10.