в каком бы то ни было смысле; они существенно различаются по способу присоединения последнего участника коалиции из трех лиц и, следовательно, по всей видимости, соответствуют двум совершенно нормальным принципам социальной организации.

37.5.2. Менее нормальным, если вообще в этом плане может идти речь, представляется решение (37:3), (37:4). Как в (37:2), так и в (37:3),

(37:4) характер решения определялся теми дележами а и а , которые соответственно описывают полное решение. К этим дележам нужно было

добавить еще устойчивые дележи а и aiv. Далее, в первом решении

этот дополнительный дележ а , очевидно, эвристически интерпретировался как ничья, в то время как во втором решении природа дополнитель-

->

ного alV оказалась более сложной.

Более подробный анализ обнаруживает, однако, что первое решение появляется в окружении особых явлений, которые нельзя ни объяснить, ни предвидеть при помощи эвристической процедуры, естественно приводящей к нему.

Эти явления весьма поучительны также и с общей точки зрения, так как они иллюстрируют несколько неожиданным образом некоторые возможности и интерпретации нашей теории. Поэтому мы в дальнейшем проанализируем их детально. Добавим, что аналогичное расширение второго решения до настоящего времени не найдено.

37#6 Несимметричные центральные решения

37.6.1. Начнем с того, что существуют некоторые конечные, но асимметричные решения, тесно связанные с (37:2) в п. 37.3.2, так как они содержат некоторые из дележей {1/2,1/2, 0, -1} х). Одно из этих решений- это то, которое получается при подходе к центру по диагонали 7-центр-У / с любой стороны и использовании там решения, указанного в п. 36.3. Иными словами, оно получается непрерывным приспособлением к упоминаемым там областям (36:В) и (36:С). (Вспомним, что точка хх = О, т. е. центр, принадлежит обеим этим областям; см. п. 36.3.2.) Так как это решение можно также рассматривать как выражающее некоторый самостоятельный принцип социальной организации, мы кратко опишем его.

Это решение обладает той же симметрией, что и решение, принадлежащее играм на диагонали /-центр-ТТ , поскольку оно действительно является одним из них: симметричным относительно игроков 1, 2, 3, в то время как игрок 4 занимает особое положение 2). Поэтому мы опишем его тем же способом, что и решения игр на диагонали, например, как (36:3) в п. 36.2.1. Здесь не допускаются только перестановки игроков 1, 2, 3, в то время как в описаниях (37:3) и (37:4) запрещались все перестановки игроков 1, 2, 3, 4.

37.6.2. В целях лучшего сравнения переформулируем в этих обозначениях (т. е. допуская только перестановки игроков 1, 2, 3) определение нашего первого полностью симметричного решения (37:2) из п. 37.3.2.

х) То есть некоторые, но не все из 12 перестановок этого дележа.

2) Именно тем, что положение игрока 4 в решении совершенно отлично от положения других, это решение отличаотся от двух ранее упомянутых симметричных решений.

Оцо состоит из следующих дележей 2): Р-{. Т.О. -1},

g fj jL ol ш дележей, получающихся из

(37*2*) 12 2 J этих перестановкой игроков

М4-.о.-1,4}. 1-2,3

Р = {0, 0, 0, 0}

Итак, асимметричное решение, о котором мы упоминали, состоит из дележей

р, Р , Р1У, как в (37:2*), и дележей, получающихся из

(37:5) г i -4 2) этих перестановкой игроков

< а л -л 2\ спил. 11CJ

Ру={, 0, -±, 0} ) 1, 2, 3.

Мы снова опускаем доказательство того, что дележи из (37:5) составляют решение. Вместо этого приведем интерпретацию различия между этим решением и решением из (37:2), т. е. первым (симметричным) решением в п. 37.3.2.

37.6.3. Это различие состоит в замене

Р*={т ° т} на Ру = {у ° -4 °}

Таким образом, дележ (J , в котором игрок 4 принадлежал бы первой коалиции (см. п. 37.3.1), т. е. группе, выигрывающей максимальную

величину 1/2, удаляется и заменяется другим дележом, pv. Игрок 4 получает теперь несколько меньше, а проигрывающий среди игроков 1, 2, 3

(в этом размещении - игрок 3) получает несколько больше, чем в Р . Эта разность в точности равна 1/2, так что игрок 4 переходит в ничейную позицию, а игрок 3 из позиции полного проигрыша - 1 переходит в промежуточную позицию - 1/2.

В результате игроки 1, 2, 3 образуют привилегированную группу, и никто извне в первую коалицию не допускается. Но даже среди трех членов привилегированной группы продолжаются споры о коалиции, так как в первую коалицию могут войти только два участника. Стоит заметить, что член привилегированной группы может даже полностью проиграть, как в Р , но только с помощью большинства его класса , образующего первую коалицию и могущего привлечь непривилегированного игрока 4 в качестве третьего члена окончательной коалиции.

37.6.4. Читатель заметит, что это описывает вполне возможную форму социальной организации. Несомненно, эта форма является дискри-

х) Наши р, Р , Р исчерпывают а из (37:2) в п. 37.3.2, в то время как p[V равно а

тождественно. Дележ а должен быть представлен тремя дележами У, Р , Р , так как в этой системе представления необходимо отметить, в какой из трех возможных пози-

ций этого дележа (т. е. значений , 0, -1) находится игрок 4.

2) Этот дележ $v по расположению выигрышей напоминает дележ aIV в (37:4) из п. 37.4.2, однако это аналогия ни к чему не ведет.

минирующей, хотя и не так просто, как дискриминирующие решения игры трех лиц. Она описывает более сложный и тонкий тип социальных взаимоотношений, причем скорее именно решением, чем самой игрой х). Ее можно считать несколько произвольной, но, так как мы рассматриваем общество очень малых размеров, все возможные нормы поведения должны очень точно и тонко соответствовать узости его возможностей.

Едва ли нужно останавливаться на том, что аналогичную дискриминацию любого другого игрока (1, 2, 3 вместо 4) можно выразить соответствующими решениями, которые мы смогли бы связать с тремя другими диагоналями куба Q.

§ 38. СЕМЕЙСТВО РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА

38.1. Преобразование решения, принадлежащего первой альтернативе

в центре

38.1.1. Мы продолжаем анализ разветвлений регпения (37:2) из п. 37.3.2. Окажется, что его можно подвергнуть некоторому специфическому преобразованию без потери его характерных свойств как решения.

Это преобразование состоит в умножении дележей (37:2) из п. 37.3.2 на общий (положительный) численный множитель z. В результате получается следующее множество дележей:

y=SJL. -i-, 0, - z\ , и дележи, получающиеся из (38:1) * этих перестановкой игроков

7 = {0, 0, 0, 0} !> 2> 3 4-

Для того чтобы эти векторы являлись дележами, нужно, чтобы все их компоненты были > -1 (т. е. 2> общего значения v (i)). Поскольку z > 0, это имеет место только при -z -1, т. е. мы должны иметь

(38:2) 0<zl.

Для z = 1 наше множество (38:1) совпадает с (37:2) из п. 37.3.2. Априори не видно, должно ли быть множество (38:1) решением той же игры для какого-либо другого z, удовлетворяющего (38:2). Прямая проверка показывает, что оно оказывается решением в том и только в том случае, когда z > 2/3, т. е. когда (38:2) заменяется на

(38:3) y<zrgl.

Важность этого семейства решений возрастает еще и оттого, что его можно распространить на некоторую трехмерную часть куба Q, окружающую его центр. Мы приведем полностью необходимое рассуждение, так как оно дает возможность продемонстрировать метод, который может иметь более широкие приложения в этих исследованиях.

Интерпретация этих результатов будет предпринята впоследствии.

38.1.2. Мы начинаем с замечания, что рассмотрение множества V, определенного в (38:1) для игры, описанной соотношениями (37:1) в п. 37.1.2 (т. е. соответствующей центру куба Q), можно заменить рассмотрением исходного множества V Из (37:2) в п. 37.3.2 для другой игры. В самом деле, наше множество (38:1) было получено из (37:2) умножением на z. Вместо этого мы могли бы оставить (37:2) и умножить на 1/z

*) По этому поводу см. рассуждение в п. 35.2.4.