характеристическуюТфункцию (37:1); при этом, правда, была бы нарушена], нормировка 7 = 1, которая была необходима для геометрического представления Q (см. п. 34.2.2), но мы идем на это.

Итак, основные идеи можно сформулировать следующим образом.

До сих пор мы исходили из данной игры и искали решения. Теперь мы предполагаем этот процесс обратить и, исходя из данного решения, искать игру. Точнее, мы начинаем с данного множества дележей V и ищем такую характеристическую функцию v (S) (т. е. такую игру), для которой, это множество V является решением.

Замечание. Эта обратная процедура вполне характеризует гибкость математического метода в отношении той некоторой степени свободы, которая в нем существует. Хотя сначала он отклоняет исследование в направлении, которое следует рассматривать как неестественное с любой точки зрения, кроме строго математической, тем не менее он эффективен; при помощи технических выкладок он в конце концов обнаруживает решение, которое не удавалось найти каким-либо другим путем.

После наших предыдущих примеров, где мы руководствовались эвристическими рассмотрениями, чрезвычайно поучительно разобрать этот случай, не связанный ни с какими эвристическими догадками, где решения найдены чисто математическим приемом, т. е. описанным выше обращением.

Для читателя, который, может быть, не удовлетворен таким приемом (т. е. исключительно техническим, а не концептуальным), мы указываем, что в математическом анализе он узаконен и широко применяется.

Мы неоднократно обнаруживали, что с эвристической процедурой справляться проще, чемсо строгой. Настоящий случай дает нам пример обратного.

Умножение v (S) из (37:1) в п. 37.1.2 на общий множитель означает, что мы по-прежнему требуем, чтобы было

(38:4) у(£) = 0, если S - двухэлементное множество, и, кроме того,

чтобы игра имела редуцированную форму (см. п. 27.1.4), т. е. чтобы было

(38:5) v ((1)) = v ((2)) - v ((3)) = v ((4)).

В самом деле, общее значение (38:5) равно - l/z и из (38:4), (38:5) и (25:3:а), (25:3:Ь) в п. 25.3.1 следует, что это v (S) такое же, как и в (37:1), только умноженное на l/z. Наше утверждение (38:3) означает, что множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением для (38:4), (38:5) в том и только в том случае, если общее значение (38:5) (т. е. -l/z) fg -1 и > -3/2.

38.1.3. Сделаем теперь следующий шаг и отбросим требование редуцированности, т. е. (38:5). Таким образом, от v (S) мы требуем только выполнения (38:4), налагая ограничения на значения для двухэлементных множеств S. Сформулируем снова окончательный вид нашего вопроса:

(38:А) Рассмотрим все игры четырех лиц с нулевой суммой, где

(38:6) v( S) = 0 для всех двухэлементных множеств S.

Для каких из них множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением?

Заметим, что, так как мы опустили требования нормировки и редуцированности v (5), мы порвали все связи с геометрическим представлением в кубе Q. Поэтому в конце будет необходимо специальное преобразование, для того чтобы полученные результаты можно было вместить в рамки куба.

38.2. Строгое рассмотрение

38.2.1. Очевидно, что неизвестными в задаче (38:А) являются значения

(38:7) у((1))=-уи v((2))=-y2, v((3))=-y8, v((4))=-j/4.

Перейдем к выяснению того, как ограничение в условиях (38:А) влияет на числа уи у2, у3, г/4.

Эта игра больше не является симметричной х). Здесь перестановки игроков 1, 2, 3, 4 оказываются, законными, только если они сопровождаются соответствующими перестановками у±, у2, г/3, г/4 2).

Начнем с того, что наименьшая компонента векторов (37:2) в п. 37.3.2, связанная с данным игроком к, равна -1. Следовательно, эти векторы будут дележами в том и только в том случае, если -1 v ((к)), т. е.

(38:8) ykl для ft = l, 2, 3, 4.

Мы видим, какой оказывается характеристика V как множества дележей; посмотрим теперь, является ли оно решением. Это исследование аналогично доказательству, проведенному в пп. 36.2.3-5.

38.2.2. Снова применим замечания (36:5), (36:6) из п. 36.2.3. Двухэлементное множество S = (i, j) является эффективным для а =

-у ->

= {а!,а2, а3, а4}, когда at + а7- О (см. (38:А)). Следовательно, для а, а

из (37:2) мы имеем: в а любое двухэлементное множество S является

эффективным; в а никакое двухэлементное множество S, не содержащее

игрока 4, не является эффективным, а те множества S, которые содержат

его, т. е. S - (1, 4), (2, 4), (3, 4), очевидно, являются эффективными.

Однако если мы рассматриваем S = (1, 4), то мы можем отбросить два

других; S = (2, 4) получается из него перестановкой 1 и 2, которая -у

не влияет на а 3); 5 = (3, 4) хуже, чем S = (1, 4), после того как 1 и 3 поменяются местами, так как 1/2 0 4). Резюмируем:

(38:В) Среди двухэлементных множеств S следующие заведомо

необходимы (а все остальные заведомо не необходимы): (1, 4) для

-> ->

а 5), все для а .

Обратимся к трехэлементным множествам. По изложенному выше

на основании (36:6) мы можем исключить для а все трехэлементные мно--> ->

жества, а для а - множества, содержащие (1, 4) или (2, 4) 6). Для а остается только S = (1, 2, 3).

2) Кроме случая, когда у± = у2 = у г = г/4-

2) Но против применения таких перестановок 1, 2, 3, 4 нечего возразить, как в формулировке (37:2) из п. 37.3.2.

3) Эта перестановка и дальнейшие, аналогичные ей, очевидно, законны, несмотря на сказанное в сноске 1 на стр. 337. См. сноску 1 на стр. 324 и сноску 2 на стр. 337.

4) Так как а\ = -1, мы можем исключить все множества, включая S = (1, 4), когда v ((4)) = -1, т. е. когда г/4 = 1, что возможно. Но мы не обязательно должны делать это. Мы предпочитаем этого не делать, чтобы одновременно рассматривать случаи ук = 1 и г/4 > 1

->

5) И все перестановки 1, 2, 3, 4; они также видоизменяют а.

-►

6) Второе получается из первого перестановкой 1 и 2, не изменяющей а. 22 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

Резюмируем:

(38:С) Среди трехэлементных множеств S одно, приводимое нижег

г заведомо необходимо (а все остальные заведомо не необходимы):

(1, 2, 3) для а.

Мы предоставляем читателю проверить утверждение (30:5:а) из

п. 30.1.1, т. е. что никакое а £ V не доминирует р £ V, (См. соответствующую часть доказательства в п. 36.2.4. Фактически последующее доказательство (30:5:Ь) также содержит необходимые шаги.)

38.2.3. Проверим теперь (30:5:Ь) из п. 30.1.1, т. е. что дележ рг не доминируемый элементами V, должен принадлежать множеству V.

Рассмотрим дележ р, не доминируемый элементами V. Если бы какие-нибудь два числа из рь р2, Рз Р4 были бы <0, то мы всегда могли бы добиться (перестановкой 1, 2, 3, 4), чтобы было рь р2 < 0. Это дает нам

-у -у

по (38:В), что а е- р по множеству S = (1, 2). Следовательно, не более одного из чисел р1? р2, р3, р4 будет <0. Если ни одно из них не <0, то все

они 0. Тогда каждая комйонента р будет соответствующей компонен-

ты а , и, так как оба вектора являются дележами (см. сноску 1 на стр. 326)г

они совпадают: р = а ; и поэтому Р £ V.

Следовательно, ровно одно из чисел рь р2, р3, р4 будет <0. Перестановкой 1, 2, 3, 4 мы можем добиться того, чтобы было р4 < 0.

Если бы какие-нибудь два числа из рь р2, р3 были бы < 1/2, то мы могли бы добиться (перестановкой 1, 2, 3), чтобы рь р2 < 1/2. Кроме того, р4 < 0. Поэтому при перестановке 3 и 4 получаем по (38 : С),

что а е- р по множеству S = (1, 2, 3). Следовательно, не более одного-из Рь Рг Рз будет < 1/2. Если ни одно из них не < 1/2, то р1? р2, р3 1/2. Следовательно, р4 -3/2. Но р4 v ((4)) = - z/4, откуда -z/4 -3/2, т. е. г/4 3/2. Таким образом, чтобы исключить эту возможность, необходимо, чтобы z/4 < 3/2, и, так как мы можем свободно переставлять 1, 2, 3, 4, необходимо даже, чтобы

(38:9) z/fe< для & = 1, 2, 3,4.

Если это условие выполняется, то мы можем заключить, что ровно* одно из рь р2, р3 будет <1/2. Перестановкой 1, 2, 3 сделаем, чтобы р3 <С < 1/2.

Итак рь р2 1/2, р3 0. Если р4 -1 х), то каждая компонента р будет соответствующей компоненты а, и, так как оба вектора являются дележами (см. сноску 1 на стр. 326) они совпадают: р = а\ Поэтому Р £ V.

Следовательно, р4 < -1 и р3 < 1/2. Перестановка 1 и 3 дает, что-

на основании (38:В) а е- р по множеству S = (1, 4).

Это, наконец, является противоречием и поэтому завершает проверку (30:5:Ь) из п. 30.1.1.

*) Если у ((A)) - -1, т. е. если */4 = 1, то это, конечно, имеет место; мы, однако* не хотим предполагать этого (см. сноску 4 на стр. 337).