Условие (38:9), которое нам было нужно для этого доказательства, действительно необходимо: легко проверить, что

р I 2 2 2 2 J

не доминируется нашим множеством V, и единственная возможность для того, чтобы этот вектор не являлся дележом, состоит в -3/2 < <; v ((4)) = -1/4, т. е. г/4 < 3/2 х). Перестановка 1, 2, 3, 4 дает тогда (38:9).

Таким образом, нам необходимы (38:8) и (38:9). Резюмируем:

(38:D) Множество V из (37:2) в п. 37.3.2 является решением для игры (38:А) (вместе с (38:6), (38:7)) в том и только в том случае, если

(38:10) 1Ук<~ для Л = 1, 2,3,4.

38.2.4. Введем вновь в рассмотрение нормировку и редуцирование, чем мы временно пренебрегли, но что необходимо, для того чтобы связать эти результаты с кубом Q, как это было указано сразу после (38:А).

Формулы редуцирования из п. 27.1.4 показывают, что доля игрока к должна быть заменена величиной а\, где

а\ = - v ((к)) +1 {V ((!)) + v ((2)) + v ((3)) + v ((4))} =

= Уь - т (yi н #2 + Уз + Уд

v = -т <v К1 + v (<2 +v 3 + v 4 >=т to + й+и. +jr.).

Для двухэлементного множества S - (г, ;) значение v(£) увеличивается по сравнению со своим первоначальным значением 0 на величину

сх? + а) = yt + yj - у (г/4 + у% + у3 + У4) = у (У* + 30 ~ - 2/0

(А, I - игроки, отличные от г, /).

Ясно, что для указанного выше у будет у 1 > 0 (на основании (38:10)); следовательно, игра существенная. Нормировка проводится теперь делением характеристической функции и долей каждого из игроков на у. Таким образом, для S = (&, j) значения v (S) преобразуются далее к значениям

а?+а 2 У1 + У]~Ук - У1 У ~~ У\ + Уг + Уз + Уь

г) Заметим, что тот факт, что V не доминирует 3 нельзя исправить добавлением

к V дележа 3 (когда г/4 3/2). В самом деле, 3 доминирует а = {0, 0, 0, 0} по мно-

->

жеству S - (1,2,3), так что было бы необходимо удалить ос из V, таким образом создавая новые недоминируемые дележи и т. д.

Если yi - у2 = уз - Ук = 3/2, то замена единицы на 2/3 приводит нашу игру

обратно к форме (37:1) из п. 37.1.2, и этот дележ (3 превращается в аАУ = - {1/3,1/3,1/3, -1}из (37:3) в п. 37.4.1. Таким образом, дальнейшие попытки сделать множество V решением, вероятно, последовательно превращали бы его в (37:3), (37:4) из п. 37.4.1-2. Это стоит отметить, так как мы начали с (37:2) из п. 37.3.2.

Эти связи между двумя решениями (37:2) и (37:3), (37:4) следует разобрать далее.

Итак, эти значения представляют собой нормированную и редуцированную форму характеристической функции, которая и используется в п. 34.2.1 для представления в кубе Q. (34.2) вместе с написанным выше выражением дают формулы

171 - Уг-Уз + Vk

У1 + У2 + Уз + Уь

(38:11) { я;2= УА + У2, Уз,+ У4

V- У 1 + 2 + 3 + 4

X = -1-2 + 3 + /4 3 */1 + */2+*/3 + */4

для координат хи х2, х3 в Q.

38.2.5. Таким образом, равенства (38:10) и (38:11) определяют вместе область Q, в которой имеют место эти решения, т. е. решения (37:2) из п. 37.3.2, преобразованные так, как было указано выше. Это определение исчерпывающее, но неявное. Постараемся сделать его явным. Именно, если дана точка Q с координатами ж4, х2, х3, проверим, могут ли равенства (38:10) и (38:11) выполняться совместно (с подходящими Уи г/2, Уз, У*)-

Полагаем, что для предположительных уи у2, у31 г/4 выполняется равенство

(38:12) у, + у2 + у3 + у, - А ,

где z неопределено. Тогда уравнения (38:11) принимают вид

! У1 - У2 - Уз + Уь = -- ,

4х2 z

4а:я

(38:12*) ] -1 + 2 -з + г/4 =

I - Vi - У* + Уз + Уь =

Систему уравнений (38:12) и (38:12*) можно решить относительно уи Уг, Уз, У6

i i + xi-x2-x3 1-х1+х2-х3

- У 2 -

. z 7 Z

<38:13) ) l--+Xg 1+1 + 2 + 3

lу*=--z- у**--1-

Теперь (38:11) удовлетворяется, и мы должны использовать имеющуюся свободу для выбора такого z, чтобы удовлетворялось (38:10). Пусть w - наибольшее, a v - наименьшее из четырех чисел

( щ = 1 +Xi - х2 - х3, U2 = l-Xi + Xz - X3i (38.14) j и3 = 1 - Х1 - х2 + х9, u=l + xi + X2 + x3.

Это известные величины, так как предполагается, что хи х2, х3 заданы. Ясно, что теперь (38:10) означает, что 1 viz и что wlz < 3/2, т. е.

(38:15) w<zv.

Очевидно, это условие может выполняться (для z) в том и только в том случае, если

(38:16) yw<v

Но если (38:16) удовлетворяется, то из условия (38:15) следует, что z может принимать бесконечное число значений - целый интервал.

38.2.6. Прежде чем сделать какие-либо выводы из (38:15), (38:16), мы приведем явные формулы, выражающие, что стало с решением (37:2) из п. 37.3.2 при наших преобразованиях. Мы должны взять фигурирую-

-У -У

щие там дележи а, а , добавить к к-ш компоненте (т. е. к выигрышу игрока к) величину ah и разделить все это на у.

Эти действия преобразуют возможные значения компоненты к, которые по (37.2) равны 1/2, 0, -1, следующим образом. Рассмотрим сначала к = 1 и используем имеющиеся выше выражения для а& и у так же, как и в (38:13). Тогда

J ,

1 2±CCi 2 + 4у1 - (у1 + у2 + у3 + Уь) z .

- переходит в -=- , ,- -- = тг + xt - х2 - хг,

2 у У1 + Уг + Уз + Уь 2 1 1 4 61

л а1 4у*~~(У1 + У2 + У3 + У4> ~

U переходит в ~7T-=Z-7, i i i -- xi~xz~хз,

r У У1~ГУ2~ГУз-ТУк

a - ! + <*! - + У\ - {У\ + Уг + Уз + Уд -1 переходит в-----Т1 + У2 + У3 + У,-= ~* +х,-хг-~ х,.

Для остальных к = 2, 3, 4 эти выражения изменяются только в том, что х± - х2 - х3 заменяется в них соответственно *) на - х± + х2 - х3у - Х\ - х2 -f- х3, х -f- х2 -f- х3.

Резюмируя (и вспоминая (38:14)), мы имеем следующее:

(38:Е) Компонента к преобразуется следующим образом:

у переходит в -j-f-uk - 1,

О переходит в ии - 1, - 1 переходит в - z + и\ - 1,

где и1? z2 u3i uk из (38:14).

Мы предоставляем читателю переформулировать (37:2) с модификацией (38:Е), обращая особое внимание на правильное выполнение требуемых там перестановок 1, 2, 3, 4.

Заметим, что для центра, т. е. для случая хг = х2 = х3 = О, модификация (38:Е) воспроизводит формулы (38:1) из п. 38.1.1 так, как это нужно.

38.2.7. Вернемся теперь к обсуждению (38:15) и (38:16).

Условие (38:16) выражает, что четыре числа ил, и2, и3, щ из (38:14) не слишком удалены друг от друга: их минимум превосходит 2/3 их максимума, т. е. относительное изменение их величин меньше, чем 2:3.

Это, конечно, справедливо в центре, где хх = х2 = х3 = 0; там все Щ-> и2, и3, щ = 1. Следовательно, в этом случае v = w = 1, и (38:15) превращается в 2/3 < z 5g 1, доказывая тем самым ранее сделанные утверждения в этом обсуждении (см. (38:3) в п. 38.1.1).

г) Это непосредственно следует из вида уравнений (38:13) и из рассмотрения влияния перестановок игроков 1, 2, 3, 4 на координаты xit х2, я3, что описано в п. 34.3.2.