Обозначим ту часть Q, в которой справедливо (38:16), через Z. Тогда даже достаточно малая окрестность центра принадлежит Z г). Поэтому Z является трехмерной частью внутренности Q, содержащей центр внутри себя.

Мы можем также выразить связь Z с диагоналями Q, например с диагональю /-центр-У /. Z содержит следующие участки диагонали (см. рис. 44): в одну сторону ровно С, а в другую - немного меньше, чем половину В 2). Добавим, что эти решения отличаются от семейства решений, справедливых в (36:В) и (36:С), о которых упоминалось в п. 36.3.

38.3. Интерпретация решений

38.3.1. Семейство решений, которое мы таким образом нашли, обладает несколькими замечательными особенностями.

Заметим сначала, что для любой игры (т. е. для любой точки Z), для которой это семейство вообще дает решение, оно дает бесконечно много решений3). Все сказанное в п. 37.5.1 снова приложимо: эти решения представляют собой конечные множества дележей 4) и обладают полной симметрией игры5). Таким образом, ни в одном из этих решений нет дискриминации . Также им не могут быть предписаны различия в организационных принципах , которые мы обсуждали выше. Тем не менее для различения этих решений имеется простой организационный принцип , который можно представить в качественной словесной формулировке. Переходим к его формулировке.

38.3.2. Рассмотрим (38:Е), где описаны преобразования, которым должно быть подвергнуто (37:2) из п. 37.3.2. Очевидно, что наихудшим возможным исходом для игрока к в этом решении является последнее выражение (так как оно соответствует -1), т. е. - z + uk - 1. Это выражение >> или =г -1, смотря по тому, будет z <С или = гг&. Далее, ии и2,

Щ - это четыре числа из (38:14), наименьшее из которых есть v. По (38:15) z v, т. е. всегда - z + uh - 1 -1, и знак = имеет место только для наибольшего возможного значения z, z = v, и то лишь для тех к, для которых uk достигает своего минимума v.

1) Если х±, х2, х3 отличаются от 0 менее чем на , то каждое из четырех чисел и2, и3, щ из (36:14) < + И-> ~==: У слеД°вательн0 относительная их величина изменяется < - : ~ = 4г . Поэтому мы все еще находимся в Z. Дру-

О О и

гими словами, Z содержит куб с тем же центром, что и у Q, но имеющий 1/15 (линейного) размера Q. В действительности Z несколько шире; его объем равен примерно 1/1000 объема Q.

2) На этой диагонали xt = х2 = х3; поэтому щ, и2, и3, щ равны (трижды) 1 - *j и 1 -f- 3xi. Так как для хх 0 должно быть v = 1 - и и? = 1 -f- 3*l7 неравенство (38:16) принимает вид xi <; 1/2. Для xt 0 мы имеем и = 1+3*!, w = 1 - х, следовательно, (38:16) становится > - 1/11. Поэтому пересечение равно

0 *i < -д- (ЭТО В ТОЧНОСТИ С),

1 / 1 \

0 *! > - - I а 5 - это 0 *! >--- I .

3) Решение, которое мы нашли, содержит четыре параметра: у1ч у2, у3, г/4, а игры, для которых оно справедливо,- только три параметра: xlt х2, х3.

4) Каждое насчитываем 13 элементов, как в (37:2) из п. 37.3.2.

б) В центре *4 = х2 = х3 = 0 мы имеем ух = у2 = у3 - у± (см. (38:13)), т. е. симметрию относительно 1, 2, 3, 4. На диагонали х = х2 = х3 мы имеем у\ = у2 = у3 (см. (38:13)), т. е. симметрию относительно 1, 2, 3.

Сформулируем сказанное:

(38:F) В этом семействе решений, даже в случае наихудшего возмож-

ного исхода, игрок к получает, в общем, выигрыш несомненно лучший, чем он мог бы сам себе гарантировать, т. е. v ((к)) = -1. Это преимущество исчезает только тогда, когда z принимает наибольшее возможное значение, z = v, и то только для тех к, для которых соответствующее число щ, и2, и3, щ в (38:14) минимально.

Другими словами: в этих решениях проигрывающий игрок вообще не полностью эксплуатируется ; его выигрыш не сводится к наименьшему возможному уровню, к тому уровню, который он может себе гарантировать самостоятельно, т. е. v ((к)) = -1. Мы раньше наблюдали такое ограничение со стороны выигрывающей коалиции в мягком варианте дискриминирующих решений игры трех лиц, рассмотренной в п. 33.1. (т. е. когда с> -1, см. конец п. 33.1.2). Но там только один игрок мог быть объектом такого неравноправия в каком-либо решении, и это явление со своим исключительным свойством произошло из конкуренции коалиций. Теперь нет больше дискриминации или сегрегации; вместо этого данное ограничение применяется вообще ко всем игрокам, и в центре Q (см. (38:1) в п. 38.1.1, где z < 1) решение даже симметрично!

Замечание. Существует также количественное различие, имеющее некоторую значимость. Как в нашем настоящем изложении (игра четырех лиц, соответствующая центру куба (?), так и в ранее рассмотренном случае (игра трех лиц в смысле п. 33.1), наилучшее, что игрок в состоянии получить (в тех решениях, которые мы нашли), это 1/2, а наихудшее -1.

Верхний предел величины, получаемой в случае поражения в тех наших решениях, где игрок не полностью эксплуатируется , теперь равен -2/3 (т. е. -z, где 2/3 < z 1), а раньше он равнялся 1/2 (т. е. с, где -1 с < 1/2). Поэтому эта зона

(-2/3) - (-1) 1/3 00 2 0/

покрывает теперь 4 - ~- , т. е. 22-% рассматриваемого интервала, в то

1/Z-(-1) o/Z У

время как раньше она покрывала 100%.

38.3.3. Даже когда z принимает максимальное значение и, в общем случае только один игрок утратит это преимущество, так как вообще четыре числа ии и2, и3, щ из (38:14) различны и только одно из них равно своему минимуму и. Все четыре игрока утратят его одновременно, только если все числа щ, и2, и3, щ равны своему минимуму v, т. е. равны друг другу, и одного взгляда на (38:14) достаточно, чтобы показать, что это возможно только тогда, когда = х2 = х3 = 0, т. е. в центре.

Это явление неполной эксплуатации проигрывающего игрока является очень важной возможной (но не необходимой) особенностью наших решений, т. е. социальных норм. По-видимому, в общей теории оно играет еще большую роль.

В заключение отметим, что некоторые из решений, упомянутых нами, но не описанных в п. 36.3.2, также обладают этой особенностью. Это решения в С на рис. 44. Но тем не менее они отличаются от решений, которые мы здесь рассмотрели.

Глава VIII

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ 715

УЧАСТНИКОВ

§ 39. ЧИСЛО ПАРАМЕТРОВ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ ИГР

39.1. Ситуация для п = 3, 4

39.1. Мы знаем, что существенные игры представляют подлинный предмет нашего исследования и что всегда можно предполагать, что они заданы в редуцированной форме с у = 1. В этом представлении существует ровно одна игра трех лиц с нулевой суммой, а игры четырех лиц образуют трехмерное многообразие х). Далее мы увидели, что (единственная) игра трех лиц с нулевой суммой автоматически симметрична, а трехмерное многообразие игр четырех лиц с нулевой суммой содержит ровно одну симметричную игру.

Выразим это для каждого из перечисленных множеств игр посредством указания его размерности, т. е. числа неопределенных параметров, которым следует приписать конкретные (численные) значения, для того чтобы охарактеризовать игру этого класса. Наиболее удобной формой является табл. 24, приведенная далее для всех п 3 2). Только что сделанные утверждения приведены в строках этой таблицы, соответствующих случаям п = 3, 4.

39.2. Ситуация для всех пЗ

39.2.1. Построим теперь интересующую нас таблицу, определяя число параметров игры п лиц с нулевой суммой, как для класса всех таких игр, так и для класса всех симметричных игр.

Характеристическая функция является совокупностью стольких чисел v (S), сколько существует подмножеств S в I = (1, . . ., п), т. е. 2П. Эти числа подчинены ограничениям (25:3:а) - (25:3:с) из п.25.3.1, а также ограничениям, вытекающим из редуцированности формы и нормировки 7 = 1, что выражено в (27:5) из п. 27.2. Согласно (25:3:Ь) можно найти v (-S) по данному v (S); следовательно, число параметров уменьшается в два раза 3), и мы имеем 2П-1 вместо 2п. Затем ограничение (25:3:а) фиксирует одно из остающихся v (S), именно v ((0)); (27:5) фиксирует п из остающихся v (S), именно v ((1)), . . ., v ((п)); следовательно, все перечисленные ограничения уменьшают число параметров на п + 1 4). Таким Образом, мы имеем 2n 1 - лг - 1 параметров. Наконец, ограничение (25:3:с) рассматривать не нужно, так как оно содержит только неравенства.

г) Что касается общих замечаний, см. пп. 27.1.4 и 27.3.2; относительно игры трех лиц с нулевой суммой см. п. 29.1.2; относительно игры четырех лиц с нулевой суммой см. п. 34.2.1.

2) Не имеется существенных игр с нулевой суммой для случаев п = 1, 2!

3) S и -S никогда не являются одним и тем же множеством!

4) s - 0,(1), . . ., (п) отличны друг от друга и от дополнений каждого из этих множеств.