Таблица 24. Существенные игры (редуцированная форма, у = 1)

Быстрое возрастание элементов в левом столбце табл. 24 может служить еще одним указанием (если таковое необходимо) на возрастание сложности игры вместе с числом ее участников. Представляется достойным упоминания, что числа в правом столбце, т. е. для симметричных игр, также возрастают, хотя и гораздо медленнее.

х) Сопоставьте это со сноской 3 на стр. 344.

2) р = о, 1 отличны друг от друга и от каждого из п - р (последнее только ввиду условия п 3).

39.2.2. Если игра симметрична, то v (S) зависит только от числа элементов р множества S: v (S) = vp (см. п. 28.2.1).. Таким образом, v (S) - это совокупность стольких чисел vp, сколько имеется р - = 0,1, . . ., п, т. е. п + 1 чисел. Эти числа подчинены ограничениям (28:11 :а) - (28:11 :с) из п. 28.2.1; редуцированная форма получается автоматически, и мы также требуем, чтобы было у± = -у = -1. Ограничение (28:11 :Ь) фиксирует v p при данном vp; следовательно, оно уменьшает вдвое число параметров, если п - р Ф р. Если п - р = р г)г т. е. п = 2р (что может быть только при четном п, и тогда р - п/2), из (28:11 :Ь) следует, что это vp должно быть равно нулю. Поэтому мы

п-\~1 п

имеем --параметров, если п нечетно, и у, если п четно, вместо первоначальных п + 1. Далее, ограничение (28:11 :а) фиксирует один из остающихся параметров vp, именно v0; a vA = -у = -1 фиксирует еще одно из остающихся vp : следовательно эти ограничения уменьшают число

параметров еще на 2 2). Таким образом, мы имеем - 2 или у - 2

параметров. Наконец, ограничение (28:11 :с) не нужно рассматривать, так как оно содержит только неравенства.

39.2.3. Сведем всю эту информацию в табл. 24. Выпишем явно эти значения для конкретных п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, первые два из которых мы рассмотрели раньше.

§ 40. СИММЕТРИЧНАЯ ИГРА ПЯТИ ЛИЦ

40.1. Формализация симметричной игры пяти лиц

40.1.1. Мы не будем пытаться непосредственно исследовать игру пяти лиц с нулевой суммой. Систематическая теория еще недостаточно разработана, чтобы это осуществить, а для описательного и казуистического подхода (как это было сделано для игры четырех лиц с нулевой суммой) число параметров этой игры, именно 10, слишком велико.

Однако возможно в последнем смысле рассмотреть симметричные игры пяти лиц с нулевой суммой. Число параметров, в данном случае 1, мало, но отлично от нуля, и это представляет собой качественно новое явление, заслуживающее внимания. Для п = 3, 4 существовала только одна симметричная игра, так что для п = 5 впервые строение симметричной игры допускает некоторое разнообразие.

40.1.2. Симметричная игра пяти лиц с нулевой суммой характеризуется числами vp и р - 0, 1, 2, 3, 4, 5 из п. 28.2.1, подчиненными сформулированным там ограничениям (28:11:а) - (25:11:с). Из ограничений (28:11:а), (28:11:Ь) следует, что (в случае у = 1)

(40:1) v0 = 0, Vi=-1, v4=l, v5 = 0

и v2 = - v3, т. е.

(40:2) v2=-г], v3 = t).

Далее из (28:11:с) вытекает, что vp+g vp + vq для р + q 5g 5, и мы можем подчинить р и q дальнейшим ограничениям из (28:12). Следовательно, р = 1, g = l, 21), ииз этих двух неравенств получается (при использовании (40:1) и (40:2)):

р=1, д=1: - 2 - т); р=1, q = 2: - 1 - rj =

т. е.

(40:3) ~y = = 2-

Резюмируем.

{40:А) Симметричная игра пяти лиц с нулевой суммой характеризуется одним параметром г\ посредством условий (40:1) и (40:2). Область изменения г] описывается неравенством (40:3).

40.2. Два крайних случая

40.2.1. Может оказаться полезным дать непосредственную картину описанных выше симметричных игр. Рассмотрим сначала два конца интервала (40:3):

1 = 2,

Пусть сначала т) = 2. В этом случае v (S) = -2 для любого двухэлементного множества S, т. е. любая коалиция из двух игроков проигры-

х) Это легко проверяется при помощи (28:12) или использования неравенств из сноски 2 на стр. 278. Они дают 1 q 2 и, следовательно, так как числа р и q целые, р = 1, q = 1, 2.

вает г). Таким образом, коалиция из трех (являющаяся дополнением к только что рассмотренной) оказывается выигрывающей. Это описывает нам всю суть дела: в постепенной кристаллизации коалиций точка, в которой происходит переход от проигрыша к победе, находится там, где размер коалиции увеличивается от двух к трем, и в этой точке переход составляет 100% 2). Резюмируем:

{40:В) г] = 2 описывает игру, в которой единственной целью всех игроков является образование коалиции из трех игроков.

40.2.2. Рассмотрим теперь случай т] = -1/2. В этом случае мы имеем следующее:

(1 (4

v(S) =

если

имеет

элемента.

Коалиция из четырех всегда выигрывает 3).

Теперь выше приведенная формула показывает, что коалиция из двух так же хороша, в смысле доли каждого участника, как и коалиция из четырех; следовательно, разумно и первую, и последнюю коалиции считать выигрывающими в равной мере. Если мы станем на такую более широкую точку зрения относительно того, что такое выигрыш, то мы снова можем утверждать, что о процессе разыгрывания игры можно сказать все, что нужно: в образовании коалиций точка, в которой происходит переход от проигрыша к победе, находится там, где размер коалиции увеличивается от одного к двум: в этой точке мы имеем 100-процентный переход 4).

Резюмируем:

{40:С) г) = -1/2 описывает игру, в которой единственной целью

всех игроков является образование коалиций из двух игроков.

40.2.3. На основании выводов (40:В) и (40:С) было бы совсем просто эвристически угадать решения для соответствующих им игр. Это так же просто, как и строгое доказательство того, что эти множества дележей действительно являются решениями, но мы не будем рассматривать этот вопрос более подробно.

*) См. обсуждение в п. 35.1.1, особенно замечание на стр. 313.

2) Один игрок проигрывает так же, как и двое; четверо выигрывают не больше троих. Конечно, у коалиции из трех нет никаких оснований принять четвертого партнера. Представляется (эвристически) правдоподобным, что если они его примут, то только на наихудших из возможных условий. Но тем не менее такая коалиция из четырех, рассматриваемая как одно целое, выигрывает, так как остающийся изолированный игрок проигрывает.

3) В любой игре п лиц с нулевой суммой любая коалиция из п - 1 выигрывает, так как изолированный игрок всегда проигрывает. (См. сноску выше.)

4) Один игрок проигрывает, а два или четыре игрока выигрывают. Коалиция из трех игроков является составным случаем, заслуживающим некоторого внимания: v (S) = -1/2 для трехэлементного множества S, т. е. это значение получается добавлением - 1 к значению 1/2 для двухэлементного множества. Таким образом, коалиция из трех не лучше, чем выигрывающая коалиция из двух (которая в ней содержится) плюс отдельно остающийся изолированный и проигрывающий игрок. Эта коалиция является такой комбинацией выигрывающей и проигрывающей групп, которая не изменяет прежней ситуации.