Используя таблицу на рис. 46, мы получаем зоны А - Е в интервале -1 rg г] rg 2, являющиеся образами зон 4 - Z? в интервале - 1 arg 1. Все детали видны на рис. 46.

На этой основе можно провести детальный анализ симметричных игр пяти лиц. При этом обнаруживается, что зоны А, В на самом деле играют ту роль, которую мы от них и ожидали, но зоны С, D и Е следует заменить другими: С и D. Эти зоны А - Dr в интервале - у g т) 2 и их прообразы А - D в интервале - 1 rg а :g 1 (что получено опять с помощью таблицы на рис. 46) изображены на рис. 47.

Замечательным оказывается тот факт, что а-диаграмма рис. 47 оказывается более симметричной, чем диаграмма рис. 46, хотя именно последняя! важна для 1-, 2-, 3-симмет- . \r\f\ ti I

ричных игр четырех лиц. н- -\ \ \ i х

40.3.4. Анализ симмет- у L д j 1

ричных игр пяти лиц имеет 5 5

также некоторую эвристиче- \ А \В\С\ 3r I

скую ценность, помимо не- -1-м--1-yjj

посредственно даваемой им 1. qL L A j g

информации. В самом деле, 2 3 3 7

сравнивая симметричную иг- Рис 47.

ру пяти лиц Г с соответствующей ей 1, 2, 3-симметричной игрой четырех лиц Г и изучая различив в их решешх, мы замечаем стратегические эффекты объединения игроков 4 и 5 в одного (составного) игрока 4. В той мере, в которой решения не представляют никаких существенных трудностей (как указано выше, это будет в случае зон А и В), можно сказать, что такое объединение-не влияет на действительно существенные стратегические рассмотрения 1).. С другой стороны, когда возникают такие различия (это случается в остальных зонах), мы сталкиваемся с той интересной ситуацией, что даже если. 4 и 5 кооперируются в Г, их совместная позиция разрушается возможностью их разобщения 2).

Из-за недостатка места дальнейшее обсуждение, основанное на строгом понятии решений, проводиться не будет.

х) Конечно, в решениях игры Г следует ожидать изменений, когда игроки 4 и 5 находятся в различных коалициях. Ясно, что это не может иметь аналогии в Г. Все что мы понимаем под отсутствием существенных различий, это то, что дележи в решениях Г, которые указывают на коалицию 4 и 5, должны соответствовать эквивалентным дележам в решении Г.

Эти идеи требуют дальнейшей разработки, которая возможна, но которая завела-бы слишком далеко, чтобы излагать ее здесь.

2) Уже в п. 22.2 наше первое рассмотрение игры трех лиц показало, что раздел дохода внутри коалиции определяется возможностями каждого партнера в случае его отделения. Но ситуация, которую мы сейчас наблюдаем, иная. В рассматриваемой сейчас игре Г может оказаться, что это фактическое положение влияет даже на общий выигрыш игроков 4 и 5.

Качественный смысл такой возможности наилучшим образом обнаруживается при рассмотрении следующего положения: когда предварительная коалиция 4 и S торгуется о дальнейших союзах, ее позиция при переговорах зависит от случая, когда их коалиция нерасторжима (в Г), или когда допускается противное (в Г).

Глава IX

КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ ИГР

§ 41. КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ 41.1. Поиски игр п лиц, для которых можно найти все решения

41.1.1. Из двух предыдущих глав видна та скорость, с которой возрастает сложность нашей задачи при увеличении числа п участников до А% 5 и т. д. Несмотря на всю свою неполноту, приведенные рассуждения обнаружили такую тенденцию к разрастанию, что продвижение по этому пути за пределы случая пяти участников должно представляться совершенно безнадежным *). Кроме того, фрагментарный характер полученных этим способом результатов сильно ограничивает их пригодность для того, чтобы дать нам представление об общих возможностях теории.

С другой стороны, совершенно необходимо хотя бы в какой-то степени выяснить условия, которые начинают проявляться при больших значениях п. Помимо того, что это чрезвычайно вайшо для ожидаемых экономических и социологических приложений, необходимо учитывать также, что каждое увеличение числа п вызывает качественно новые явления. Это было ясно для каждого из случаев п = 2, 3, 4 (см. пп. 20.1.1, 20.2, 35.1.3, а также замечание на стр. 242), и если мы не наблюдали этого при п = 5, то это могло произойти из-за недостатка подробной информации об этом случае. В дальнейшем (см. конец п. 46.12) будет выяснено, что весьма важная качественная особенность появится впервые при п = 6.

ПЛ.2. По изложенным причинам необходимо найти некоторый метод исследования игр с большими значениями п. При существующем состоянии дел мы не можем надеяться на какое-либо систематическое или исчерпывающее исследование. Поэтому естественный подход будет состоять в нахождении некоторых частных классов игр с многими участниками 2), с которыми можно успешно иметь дело. Во многих областях точных и естественных наук обычная практика детального изучения подходящих частных случаев (которые практически поддаются разрешению и вместе с тем воплощают основные принципы) приводит к успехам систематической и исчерпывающей теории.

Мы опишем и обсудим два таких класса частных случаев. Их можно рассматривать как широкие обобщения двух игр четырех лиц, так что каждая из этих игр является прототипом одного из этих двух классов. Эти две игры четырех лиц соответствуют восьми вершинам куба Q, введенного в п. 34.2.2. В действительности мы увидим, что эти вершины представляют только два стратегически различных типа игр: с одной стороны, вершины I, V, VI, VII, рассмотренные в п. 35.1, и с другой, - вершины II, III, IV, VIII, рассмотренные в п. 35.2. Таким образом, вершины 1и VIII куба Q являются прототипами тех обобщений, которым будут посвящены эта и следующая главы.

г) Как было видно в главе VIII, уже для пяти участников пришлось ограничиться симметричным случаем. *

2) Причем они участвуют в игре так, что каждый из них играет существенную

роль!

41.2. Первый тип. Композиция и разложение

41.2.1. Рассмотрим сначала вершину VIII куба] Q, изученную в п. 35.2. Как было выяснено в п. 35.2.2, эта игра имеет следующую характерную черту: множество четырех игроков распадается в ней на два отдельных подмножества (одно, состоящее из трех игроков, а другое - из одного), которые не взаимодействуют друг с другом. Иначе говоря, можно считать, что игроки, составляющие каждое множество, участвуют в отдельной игре, имеют дело друг с другом и совершенно не связаны с игроками из другого множества.

Естественным обобщением этой игры является игра Г п = к + I лиц, обладающая следующим свойством: множество игроков распадается на два подмножества, соответственно из к и I элементов, причем ни один игрок из одного подмножества не взаимодействует ни с одним игроком из другого подмножества. Таким образом, можно считать, что игроки каждого подмножества участвуют в отдельной игре (эти игры можно соответственно обозначить через А и Н), взаимодействуют только между собой и совершенно не связаны с игроками из другого множества.

Эту связь между играми Г, А и Н мы будем описывать в следующих терминах: композиция игр А и Н дает игру Г и, обратно, игру Г можно разложить на компоненты А и Н *).

3 амечание. При первоначальном описании игры в п. 35.2 второе множество состояло из одного игрока, который назывался также болваном . Это обстоятельство наводит на мысль о следующем обобщении, отличном от описанного выше: это - игра, в которой игроки распадаются на два таких подмножества, что игроки первого подмножества взаимодействуют только между собой и т. д., а игроки второго подмножества не оказывают влияния на игру ни в отношении своей собственной судьбы, ни в отношении судьбы остальных игроков (такие игроки тогда являются болванами ).

Это, однако, лишь частный случай обобщения, которое мы рассматриваем. Оно получится, если в качестве игры Н второго подмножества игроков взять несущественную игру, т. е. такую игру, в которой каждому игроку приписан определенный выигрыш, на который ни один из игроков не может влиять. (См. п. 27.3.1 и конец п. 43.4.2. Возможно, что игрок в несущественной игре мог бы ухудшить свое положение, играя неподходящим образом. Для болвана нам следовало бы исключить эту возможность, но этот факт не имеет большого значения.)

Общее исследование, которое мы собираемся предпринять (для случая, когда обе игры А и Н существенны), обнаружит явление, не проявляющееся в том частном случае, который описывает вершина VIII п. 35.2, т. е. в случае болванов (игра Н несущественна). Это новое явление будет обсуждаться в пп. 46.7, 46.8, а случай болванов , когда ничего нового не наблюдается,- в п. 46.9.

41.2.2. Прежде чем мы точно сформулируем приведенные выше словесные определения, уместно сделать некоторые качественные замечания.

Во-первых, надо заметить, что наш метод композиции и разложения во многом сходен с методом, который успешно применялся во многих областях современной математики 2). Так как природа этих вопросов требует высокой математической техники, мы здесь не будем больше говорить о них. Достаточно указать на то, что предлагаемый метод частично был мотивирован именно этими аналогиями. Исчерпывающие, но не тривиальные результаты, которые мы получим, а также сможем использовать для дальнейших интерпретаций, с технической точки зрения являются довольно обнадеживающим признаком.

*) Представляется естественным распространить понятия композиции и- разложения на случай более чем двух компонент. Это будет проделано в пп. 43.2 и 43.3.

2) См. G. Birkhoff and MacLane: A Survey of Modern Algebra, New York, 1941, Chapt. XIIL