Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

41.2.3. Во-вторыхДчитатель сможет почувствовать, что операция композиции имеет совершенно формальную и фиктивную природу. Почему две игры А и Н, в которых участвуют два различных множества игроков, не имеющих абсолютно никакого влияния друг на друга, должны рассматриваться как единая игра Г?

Наше исследование обнаружит, что полное разделение игр А и Н в вопросах, касающихся их правил, не обязательно влечет то же для вопросов, касающихся их решений. Именно, хотя эти два множества игроков не могут влиять друг на друга непосредственно, но тем не менее, когда <щи рассматриваются как единое множество - одно общество,- могут существовать устойчивые нормы поведения, которые устанавливают связи между ними 1). Значение этого обстоятельства будет более полно выяснено, когда мы дойдем до соответствующего места.

41.2.4. Кроме всего сказанного, нужно заметить, что этот метод композиции является довольно обычным как в естественных науках, так и в экономической теории. Так, вполне законно рассматривать как одну две отдельные механические системы, даже если одна из них расположена, скажем, на Юпитере, а другая - на Уране. Точно так же допустимо рассматривать как единое целое внутренние экономики двух государств, даже если мы пренебрегаем связями между ними. Это, конечно, является только предварительным шагом перед введением сил взаимодействия между системами. Так, в нашем первом примере в качестве двух систем мы могли бы выбрать сами планеты Юпитер и Уран (находящиеся в гравитационном поле Солнца), а затем в качестве взаимодействия ввести гравитационные силы, с которыми эти планеты воздействуют друг на друга. Во втором примере взаимодействие появляется с рассмотрением внешней торговли, международных перемещений капитала, переселений и т. п.

Точно так же мы могли бы использовать разложимую игру Г в качестве основы для изучения других, близких игр, которые, в свою очередь, це поддаются разложению 2).

Однако в наших исследованиях эти последние возможности не будут рассматриваться. Наши интересы будут лежать в области связей между понятиями, введенными в начале этого параграфа.

41.3. Точные определения

41.3.1. Перейдемтеперь к точному математическому описанию композиции и разложения игр.

Пусть к игроков 1, . . ., к, составляющих множество / = (1, ... -1 к), участвуют в игре А, а I игроков 1 , . . ., Z , составляющих множество К = (1 , . . Г), участвуют в игре Н. Мы еще раз подчеркиваем, что множества игроков в играх А и Н не пересекаются 3) и что игры А и Н не оказывают никакого влияния друг на друга. Обозначим харак-

*) Имеется некоторая аналогия между этим фактом и отмеченным ранее явлением (см. пп. 21.3, 37.2.1), состоящим в том, что симметрия в правилах игры не обязательно влечет такую же симметрию в решениях.

2) См. п. 35.3.3 в применении к окрестности вершины /, которая, согласно п. 35.2, соответствует разложимой игре. Здесь уместно также напомнить замечание о возмущениях в сноске 2 на стр. 319.

3) Если в двух играх участвуют одновременно одни и те же игроки 1, . . ., я, то имеет место совершенно другая ситуация. В этом случае наблюдается суперпозиция игр, о которой шла речь в п. 27.6.2, а также в п. 35.3.4. Ее влияние на стратегии гораздо более сложно и едва ли может быть описано общими правилами, как это указывалось в п. 35.3.4.



теристические функции этих игр соответственно через Уд (S) и vH (Т), где S е / и Т s .

При образовании составной игры Г для ее п = к + игроков удобно использовать те же самые обозначения 1, . . к, 1 , . . Г х). Эти игроки составляют множество

I=sJ[iKs=(it .... к, 1 , .... 1 , ...,Г).

Очевидно, что каждое множество R I допускает единственное представление в виде

(41:1) R = S[)T, £<=/, ТК,

а обращение этой формулы имеет вид

(41:2) S = R()J, f = i?n#2).

Обозначим характеристическую функцию игры Г через vr (Д), где R I. Интуитивно ясный факт, состоящий в том, что игры А и Н объединяются в игру Г, не влияя друг на друга, имеет следующее количественное выражение: значение коалиции R I в игре Г получается сложением значения ее части S (gzJ) из / в игре А и значения ее части Т К) из I в игре Н. Формально этот факт выражается следующим образом:

(41:3) vr (R) = уд (S) + vH (Т),

где R, Sj Т определяются формулами (41:1) или, что то же самое, формулами (41:2) 3).

41.3.2. Формула (41:3) выражает составную характеристическую функцию vp (R) через ее компоненты уд (S) и vH (Г). Однако эта формула содержит также решение обратной задачи: выразить уд (£), vH (Т) через vr (R). Действительно, Уд (0) = vH (0) = 0 4). Следовательно, полагая в (41:3) сначала Т = 0, а затем 5=0 мы получаем:

(41:4) vA(5) = vr(*y) для 5д/,

(41:5) Ун(Г) = уг(Л для ТК5).

Теперь мы можем выразить факт разложимости игры Г по отношению к двум множествам J ж К. Именно, данная игра Г (с множеством игроков I = J [} К) должна быть такой, чтобы ее можно было разложить на две подходящим образом выбранные игры А (с множеством игроков /) и Н (с множеством игроков К). Сформулированное так свойство игры Г, утверждающее существование неизвестных игр А, Н, является неявным. Однако оно будет выражено как явное свойство Г.

Действительно, если существуют две такие игры А и Н, то они должны определяться* соотношениями (41:4), (41:5). Следовательно, рассматриваемое свойство Г состоит в том, что игры А, Н, определенные равенствами (41:4) и (41:5), удовлетворяют соотношению (41:3). Поэтому

г) Вместо обычных обозначений 1, . . ., п.

2) Формулы (41.1) и (41.2) имеют непосредственное словесное содержание. Для читателя может быть полезно его сформулировать.

3) Конечно, нетрудно дать строгий вывод этого соотношения, основываясь на п. 25.1.3. Все изложенное в п. 25.3.2 применимо и к этому случаю.

4) Заметим, что пустое множество 0 является подмножеством как /, так и К; так как / и К не пересекаются,0 будет их единственным общим подмножеством.

б) Это - пример технической полезности нашего взгляда на пустое множество 0 как на коалицию. См. сноску 1 на стр. 261.



подстановка (41:4), (41:5) в (41:3) с использованием (41:1) для выражения R через S и Т дает

(41:6) vr (S[)T) = vr (S) + vr (T) для SJ, K.

Если для выражения S, T через R мы вместо (41:1) используем (41:2), то мы получим

(41:7) vr (R) = vr (R П /) + vr (Я П К) для RgI.

41.3.3. Для того чтобы должным образом выяснить роль уравнений (41:6), (41:7), необходим детальный пересмотр основных принципов, на которых <жи основаны. Это будет сделано в пп. 41.4-42.5.2. Однако два замечания относительно интерпретации этих уравнений можно сделать сразу.

Первое. Формула (41:6) выражает тот факт, что коалиция между игроками множества S J и игроками множества Т s К непривлекательна: в то время как могут существовать побудительные причины для того, чтобы игроки из / образовали коалицию между собой (и аналогично для игроков из К), не существует сил, действующих через границы множеств J и К.

Второе. Это дальнейшее замечание, являющееся продолжением сделанного в конце п. 27.4.3, предназначено для читателей, знакомых с математической теорией меры: (41:7) есть в точности определение измеримости, данное Каратеодори. Это понятие является фундаментальным в теории аддитивной меры, и подход Каратеодори к ней, по-видимому, до сих пор остается наилучшим технически г). Появление здесь этого подхода является замечательным фактом, заслуживающим дальнейшего изучения.

41.4. Анализ разложимости

41.4.1. Мы получили критерии (41:6), (41:7) разложимости игры Г подстановкой в основное условие (41:3) выражений для Уд (5), Vr(T), полученных из (41:4), (41:5). Этот вывод, однако, содержит пробел: мы не проверили, можно ли найти две такие игры А, Н, которые порождают функции va (£), vH (Т), определенные формально равенствами (41:4), (41:5).

Формализация этих дополнительных требований не встречает трудностей. Как мы знаем из п. 25.3.1, эти требования означают, что функции va (S) и vh (Т) удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с). Нужно понять, что мы предполагаем, что заданная функция vr (R) порождается игрой Г, т. е. что vr (R) этим условиям удовлетворяет. Поэтому возникает следующий самостоятельный вопрос:

(41:А) Функция vr (R) удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, а также сформулированному выше условию (41:6) или ,что то же самое, условию (41:7). Будут ли тогда также удовлетворять условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 функции va (/5), vH (Г), определенные равенствами (41:4), (41:5)? А если нет, то какие еще условия должны быть наложены на функцию vr (Л)?

Для решения этого вопроса мы проверим условия (25:3:а)?- (25:3:с) п. 25.3.1 отдельно для Уд (S) и для vH (Т). Проверять их удобно в другом порядке.

*) См. С. Caratheodorv, Vorlesungen tiber Reelle Funktionen, Berlin, 1918r Chapt. V.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227