Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

41.4.2. Условие (25:3:а). Ввиду (41:4) и (41:5) выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) следует из его выполнения для vr (i?).

Условие (25:3:с). Ввиду (41:4) и (41:5), это условие переносится с у г (R) на Уд (S) и vH (Т); при этом необходимо только перейти от ограничения R I к ограничениям S / и Т К.

Перед обсуждением оставшегося условия (25:3:Ь) сделаем замечание об утверждении (25:4) из п. 25.4.1. Так как это свойство является следствием условий (25:3:а) - (25:3:с), то оправдано выведение из него следствий, и мы увидим, что его использование упрощает исследование условия (25:3:Ь).

С этого момента нам придется одновременно использовать дополнения множеств в /, /, К. Поэтому необходимо избегать обозначения -S и писать вместо него соответственно I - S, J - S, К - S.

Условие (25:4). Для функций Уд (S) и vH (Т) роль множества / играют соответственно множества J и К. Поэтому для них это условие принимает вид:

уд (/) = 0, vH(*) = 0.

Ввиду (41:4), (41:5) это условие означает, что (41:8) vr(/) = 0,

(41:9) уг(К) = 0.

Так как К = 1 - /, условие (25:3:Ь) (примененное к функции уг(£)7 для которой, как предполагается, оно выполнено) дает

(41:10) vr(/) + vr(#) = 0.

Таким образом, в силу тождества (41:10), каждое из равенств (41:8) и (41:9) влечет другое.

В лице (41:8) или (41:9) мы фактически имеем новое условие, не вытекающее из (41:6) или (41:7).

Условие (25:3:Ь). Выполнение этого условия для Уд (S) и vH (Т) мы выведем из предположения о его выполнении для vr (R). Ввиду симметрии достаточно рассмотреть vA (S).

Должно быть доказано соотношение

(41:11) уд (S) + уд (J-S) -0.

Ввиду (41:4) это означает, что

(41:12) vr (S) + уг (/ - S) = 0.

Вследствие условия (41:8), выполнения которого мы так или иначе должны потребовать, это равенство можно записать в виде

(41:13) vr (S) + у г (/-£) = vr (/).

(Конечно, S J).

Чтобы доказать (41:13), применим (25:3:Ь) к vr (R), где R = J - S и R = /. Для этих множеств соответственно / - R = S\j К и I - R - = К. Тогда (41:13) принимает вид

vr (£)-vr (S[JK)=-yt (К)

vr(5Uif) = vr(5) + vrW, а это есть частный случай (41:6), где Т - К.



Таким образом, мы заполнили упомянутый в начале этого пункта пробел и ответили на вопросы (41:А).

(41:В) На функцию vr (R) должно быть наложено еще одно условие: (41:8) или (41:9).

Все установленное отвечает на вопрос п. 41.3.2 относительно разложимости.

(41 :С) Игра Г разложима относительно множеств J и К (см. п. 41.3.2)

тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (41:6) (т. е. (41:7)) и (41:8) (т. е. (41:9)).

41.5. Желательность модификации

41.5.1. Два условия в (41 :С), которые, как мы доказали, эквивалентны разложимости, имеют весьма различную природу. Условие (41:6) (т. е. (41:7)) весьма существенно, в то время как (41:8) (т. е. (41:9)) выражает лишь довольно случайное обстоятельство. В дальнейшем этот факт мы оправдаем строго, но сначала будут полезны качественные замечания. Прототипом нашего понятия разложения была игра, упомянутая в начале п. 41.2.1, именно, игра, соответствующая вершине VIII в п. 35.2. Но эта игра удовлетворяет условию (41:6) и не удовлетворяет условию (41:8). (Первое вытекает из (35:7) в п. 35.2.1, а второе - из того, что v (/) = v ((1, 2, 3)) = 1 Ф 0.) Тем не менее эту игру мы рассматриваем как разложимую (где / = (1, 2, 3), К = (4)); каким образом тогда оказалось возможным, что она нарушает условие (41:8), которое, как мы установили, является необходимым для разложимости?

41.5.2. Ответ на это прост. Для описанной выше игры компоненты А (с / = (1, 2, 3)) и Н (с К = (4)) не полностью удовлетворяют условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. Точнее, они не удовлетворяют следствию (25:4) п. 25.4.1: неверно, что уд (/) = vh (К) = 0 (а именно из этого условия мы и вывели (41:8)). Другими словами, компоненты игры Г не являются играми с нулевой суммой. Конечно, Этот факт был полностью выяснен в ц. 35.2.2, где ему было уделено должное внимание.

Поэтому мы должны попытаться освободиться от условия (41:8), понимая, что это может заставить нас рассматривать игры, отличные от игр с нулевой суммой.

§ 42. МОДИФИКАЦИЯ ТЕОРИИ 42.1. Неполный отказ от условия равенства суммы нулю

42.1. Полный отказ от условия равенства нулкГсуммы для наших игр *) означал бы, что функции $£k . . ., тп), которые характеризуют ее в смысле п. 11.2.3, совершенно произвольны. Иначе говоря, опускается требование

(42:1) S SPfc(Tl, ...,t )s0

пп. 11.4 и 25.1.3 и вместо него не накладывается никаких других условий. Это потребовало бы пересмотра значительной части всей теории, так как построение характеристической функции в § 25 опиралось на равен-

*) Мы снова обозначим игроков через 1, . . ., п.



ства (25:1) (т. е. на (42:1)), и, следовательно, его нужно было бы провести заново.

В конце концов этот пересмотр станет необходим (см. главу XI), но еще не на данном этапе.

Для того чтобы получить точное представление о том, что именно нам необходимо сейчас, проведем дополнительные исследования, которым посвящены пп. 42.2.1 и 42.2.2.

42.2. Стратегическая эквивалентность. Игры с постоянной суммой

42.2.1. Рассмотрим игру Г с нулевой суммой, которая может удовлетворять условиям (41:6) и (41:8), а может и недудовлетворять им. Перейдем от игры Г к стратегически эквивалентной ей в смысле пп. 27.1.1 и 27.1.2 игре Г с введенными в этих пунктах числами a°v . . ., а. Очевидно, что выполнение условия (41:6) для Г эквивалентно его выполнению для Г *).

Для условия (41:8) положение совершенно иное. Переход от Г к Г изменяет левую часть (41:8) на величину 2 a°k и, следовательно, из выпол-

нения (41:8) в одном случае не следует его выполнение в другом. Действительно, имеет место следующее утверждение.

(42:А) Для любой игры Г можно выбрать стратегически эквивалентную ей игру Г, .удовлетворяющую условию (41:8).

Доказательство. Утверждение состоит в том, что мы можем выбрать такие числа а?, . . ., aQn, что 2 <4 = 0 (условие (27:1) из п. 27.1.1) и

v(/) + 2<4=o.

Это, очевидно, возможно, если только / Ф 0 или / Ф /, так как тогда величине 2aft можно придать любое значение. Если же / = 0 или / = /,

то доказывать нечего, так как тогда v (/) == 0 ввиду (25.3:а) из п. 25.3.1 и (25:4) из п. 25.4.1.

Этот результат можно интерпретировать следующим образом: если мы рассматриваем только игры с нулевой суммой 2), то условие (41:6) выражает тот факт, что, хотя сама игра Г может и не быть разложимой, она стратегически эквивалентна некоторой разложимой игре Г 3).

42.2.2. Полученный выше строгий результат показывает, в чем именно состоит слабость нашей теории. Разложимость является важным стратегическим свойством, и поэтому положение, при котором одна из двух стратегически эквивалентных игр считается разложимой, а другая нет, нежелательно. Необходимо поэтому так расширить эти понятия, чтобы свойство разложимости стало инвариантным относительно стратегической эквивалентности.

Другими словами, мы хотим так модифицировать наши понятия, чтобы преобразование (27:2) из п. 27.1.1, определяющеестратегическую

х) Ввиду (27:2) из п. 27.1.1. Заметим, что vr (S), vr (S) из (42:А) совпадают с v (S), v (S) из (27:2) п. 27.1.1.

2) То есть мы требуем выполнения этого условия не только для Г, но также для ее компонент Д, Н.

3) Понимание компонент игры в п. 35.2.2 в точности совпадает с этим, что непосредственно видно из замечания на стр. 316.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227