эквивалентность, не влияло на соотношение между разложимой игрой Г и ее компонентами А и Н. Это соотношение выражается равенством (41:3)

(4:2) vr (S U Т) = vA (S) + vH (Т) для S с= /, Т s К.

Если мы теперь применим преобразование (27:2) с одними и теми же а£ ко всем трем играм Г, А, Н, то соотношение (42:2), очевидно, не нарушится. Затруднение вызывает только предварительное условие (27:1). Соответственно для игр Г, А, Н оно утверждает, что

2 &=о, 2а°*=о, 2 °*=о,

k£I k£J k£K

в то время как теперь мы предполагаем, что выполнено первое соотношение, а два других могут нарушаться.

Поэтому естественный способ состоит в полном отказе от условия (27:1) из п. 27.1.1, т. е. в расширении области рассматриваемых игр включением в нее всех игр, стратегически эквивалентных играм с нулевой суммой, причем стратегическая эквивалентность определяется только преобразованием (27:2), без требования выполнения условия (27:1).

Как мы видели в п. 27.1.1, это равносильно замене функций

Жк (т4, ..., тд)

игры новыми функциями

Жъ (т1? . . ., тп) == Жк (т1? . .., тп) + а%.

(На a°v . . ., ап больше не накладываются условия (27:1).) Легко охарактеризовать систему функций Жи (т1? . . ., тп), получаемых этим способом из системы функций Жк (т4, . . ., хп), удовлетворяющих условию (42:1) из п. 42.1. Характерным для них является свойство

(42:3) 2 Mkfa, ...,т ) = *1)

(вместо упомянутого свойства (42:1)).

Подводя итоги, мы приходим к следующему:

(42:В) Мы расширяем область рассматриваемых игр, переходя от игр с нулевой суммой к играм с постоянной суммой 2). В то же время мы расширяем введенное в п. 27.1.1 понятие стратегической эквивалентности, по-прежнему определяя его упомянутым преобразованием (27:2), но опуская условие (27:1).

42.2.3. Важно понять, что приведенные выше обобщения не изменяют наших основных представлений относительно стратегической эквивалентности. Лучше всего в этом убедиться, рассматривая следующие два момента.

Во-первых, в п. 25.2.2 мы указали, что предполагаем изучить все количественные свойства игры только с помощью ее характеристической функции. Необходимо понять, что доводы в пользу этого соображения столь же обоснованы для рассматриваемых теперь игр с постоянной сум-

2) 5 = 0 - произвольная константа. Очевидно, что в преобразовании (27:2),.

в результате которого эта игра получается из игры с нулевой суммой, 2jak - 5-

2) Это придает точный смысл утверждению, приведенному в начале п. 42.1, согласно которому мы еще не подготовлены к рассмотрению произвольных игр.

мой, как и для первоначального (более узкого) класса игр с нулевой суммой. Эти доводы состоят в следующем:

(42:С) Каждая игра с постоянной суммой стратегически эквивалент-

на некоторой игре с нулевой суммой.

Доказательство. Преобразование (27:2), очевидно, заменяет

число s, определенное формулой (42:3), на s -f- 2а&- Теперь можно выбрать

числа aj, . . ., так, чтобы выполнялось равенство s + 2 a°k - 0>

т. е. перевести данную игру с постоянной суммой в стратегически эквивалентную ей игру с нулевой суммой.

Во-вторых, новое понятие стратегической эквивалентности необходимо только для вновь введенных игр с нулевой суммой. Для игр с нулевой суммой старое и новое понятия эквивалентности совпадают. Другими словами, если две игры с нулевой суммой получаются одна из другой с помощью преобразования (27:2) п. 27.1.1, то автоматически выполнено равенство (27:1). Действительно, это уже отмечалось в сноске 2 на стр. 266.

42.3. Характеристическая функция в новой теории

42.3.1. Если дана игра Г с постоянной суммой (с функциями ffik (ti удовлетворяющими условию (42:3)), то, повторяя определения п. 25.1.3 *), мы можем ввести ее характеристическую функцию v (S). С другой стороны, следуя рассуждениям пп. 42.2.2 и 42.2.3, мы, как и в п. 42.2.2, можем получить игру Г с функциями 5Гь (Ti> . . ., хп) из игры с нулевой суммой Г с функциями &С(х . . ., хп) путем преобразования

(42:4) $ГСк (т4, ..., тп) = Жк (т4, ..., тЛ) + а\

с соответствующими a°v ..., а°п (см. сноску 1 на стр. 266), а затем определить характеристическую функцию v (S) игры Гформулой (27.2)п. 27.1.1:

(42:5) v(5)=v(5) + S .

Эти два определения эквивалентны, т. е. функция v (S), определенная формулами (42:4), (42:5), совпадает с функцией, полученной повторением рассуждений п. 25.1.3. Действительно, непосредственное изучение формул п. 25.1.3 сразу показывает, что в результате подстановки в них (42:4) получается формула (42:5) 2).

3 амечание. Так как мы рещили определять функцию v (S) с помощью только формул (42:2) и (42:5), мог бы возникнуть вопрос о корректности ее определения. Именно, данная игра Г с постоянной суммой с помощью преобразования (42:4), очевидно, может быть получена из многих различных игр нулевой суммой Г; всегда ли тогда формула (42:5) Сбудет определять одну и ту же функцию v (£)?

Нетрудно было бы доказать непосредственно, что это так. Это, однако, не требуется, потому что мы показали, что функция v (S) определенная формулой (42:5), совпадает с функцией, определенной в п. 25.1.3, так что v (S) определена корректно с помощью одной только игры Г.

А) Хотя игра Г больше не является игрой с нулевой суммой, все рассуждения п. 25.1.3 можно повторить дословно со следующими двумя исключениями. К правым частям равенств (25:1) и (25:2) п. 25.1.3 мы должны добавить s (ввиду того, что вместо (42.1) выполнено равенство (42:3)). Это различие абсолютно несущественно.

2) Легко найти словесное выражение этого факта.

42.3.2. Как указывалось в пп. 25.3.1 и 26.2, v (S) является характеристической функцией игры с нулевой суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. (Доказательство этого факта приводилось в пп. 25.3.3 и 26.1.) Какими станут эти условия в случае игры с постоянной суммой?

Для ответа на этот вопрос вспомним, что из указанных условий (25:3:а) - (25:3:с) вытекает равенство (25:4) из п. 25.4.1. Поэтому мы можем добавить к ним (25:4) и видоизменить условие (25:3:Ь) прибавлением v (/) к его правой части (сохраняя ввиду (25:4) равенство). Таким образом, характеристические функции v (S) всех игр с нулевой суммой удовлетворяют следующим условиям:

(42:6:а) v(0) = O,

(42:6:Ь) v (S) + v ( £) = v (/),

(42:6:с) v (S) + v (T) v(S[] Г), если S[)T = 0,

(42:6:d) v(/) = 0.

Но характеристические функции v (S) всех игр с постоянной суммой получаются из этих характеристических функций v (S) с помощью преобразования (42:5) п. 42.3.1. Как повлияет это преобразование на условия (42:6:а) - (42:6:d)?

Непосредственно проверяется, что условия (42:6:а) - (42:6:с) никак не затрагиваются, а условие (42:6:d) полностью нарушается *). Итак, мы видим, что

(42:D) v (S) является характеристической функцией игры с постоянной суммой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (42:6:а) - (42:6:с).

(Теперь мы будем писать v (S) вместо v (5).)

Как упоминалось выше, условие (42:6:d) больше не выполняется. Однако мы имеем

(42:6:d*) - v(I) = s.

Действительно, этот факт вытекает из равенства (42:3) и рассуждений п. 25.1.3. Его можно также вывести, сравнивая сноску 1 на. стр. 360 и сноску 1 на этой стр. (настоящая функция v (S) соответствует фигурирующей там функции v (5)). Кроме того, равенство (42:6:d*) интуитивно ясно: коалиция, состоящая из всех игроков, получает фиксированную сумму s игры.

42.4, Дележи, доминирование, решения в новой теории

42.4.1. Начиная с этого места,мы будем рассматривать характеристические функции произвольных игр с постоянной суммой, т. е. функции v (£), подчиненные только условиям (42:6:а) - (42:6:с).

Наша первая задача, естественно, будет состоять в распространении на эту более широкую область введенных в п. 30.1.1 понятий дележей, доминирования и решения.

*) Согласно (42:5) правая часть равенства (42:6:d) переходит в 2а* = 2а* а эта сумма совершенно произвольна. i==1