Начнем с распределений, или дележей. Мы можем перенести из п. 30.1.1 их интерпретацию как векторов

Ла = {аи . . ., ап}. Из условий (30:1) и (30:2) мы можем оставить неизменным (30:1): (42:7) a*v((0);

соображения в пользу этого *) здесь столь же обоснованы, как и ранее. Однако условие (30:2) следует изменить. Так как постоянная сумма игры равна s (см. (42:3) и (42:6:d*)), каждый дележ должен распределять именно эту величину, т. е. естественно потребовать выполнения равенства

<42:8) 2а* = *.

Ввиду (42:6:d*) это эквивалентно равенству (42:8*) S-v(/)2).

Определения эффективности, доминирования, решения мы переносим без изменений из п. 30.1.1 3), так как обоснования, которые мы привели к этим определениям, остаются в силе и для нашего обобщения.

42.4.2. Эти рассуждения подтверждаются еще следующим фактом:

(42:Е) При нашем новом понятии стратегической эквивалентности игр Г, Г с постоянной суммой 4) существует изоморфизм между их дележами, т. е. взаимно однозначное отображение дележей Г на дележи Г, при котором понятия п. 30.1.1 5) остаются инвариантными.

Этот факт является аналогом (31:Q) из п. 31.3.3 и может быть доказан таким же способом. Как и там, мы определяем соответствие

(42:9) а а

между дележами а = {at, ..., ап} игры Г и дележами а = {а[, ..., ап) игры Г формулой

(42:10) ak = ak + a°k,

где а[, . . ., определены формулой (27:2) п. 27.1.1.

После этого доказательство (31 :Q) п. 31.3.3 почти буквально повторяется. Единственное отличие состоит в том, что условие (30:2) из п. 30.1.1 заменяется на (42:8), но так как ввиду (27:2) из п. 27.1.1 v (/) = v (I) +

+ Заь это равенство также оказывается выполненным 6). Читатель, i=i

который вернется к п. 31.3, увидит, что все остальное, сказанное там, в равной степени применимо к нашему случаю.

*) ctf < v ((£)) было бы неприемлемо, ср., например, начало п. 29.2.1.

2) В частном случае игры с нулевой суммой s = v (/) = 0, так что (42:8) и (42:8*) совпадают с (30:2), как это и должно быть.

3) То есть, соответственно (30:3); (30:4:а) - (30:4:с); (30:5:а), (30:5:Ь) или (30:5:с).

4) Как определено в конце п. 42.2.2, т. е. формулой (27:2) п. 27.1.1 без (27:1).

5) Определенные заново в п. 42.4.1.

6) А это единственное место в упомянутом доказательстве, где используется

равенство 2ai = 0 (т- е- (27:1) из п. 27.1.1, которого мы больше не требуем). i=l

42.5. Существенность, несущественность и разложимость в новой теории

42.5.1. Из утверждения (42:С) п. 42.2.3 мы знаем, что каждая игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой. Следовательно, (42:Е) дает нам возможность перенести общие результаты § 31 с игр с нулевой суммой на игры с постоянной суммой, переходя от последнего класса к первому через стратегическую еквивалентность.

Это вынуждает нас определить несущественность для игры с постоянной суммой как ее стратегическую эквивалентность некоторой несущественной игре с нулевой суммой. Мы можем поэтому утверждать следующее:

(42:F) Игра с нулевой суммой несущественна тогда и только тогда

когда она стратегически эквивалентна игре, у которой v (S) = 0. (См. 23.1.3 или (27:С) п. 27.4.2.) Согласно сказанному выше то же самое относится к игре с постоянной суммой. (Но мы должны использовать наши новые определения несущественности и стратегической эквивалентности.)

Существенность, конечно, определяется как отрицание несущественности.

Применение формулы преобразования (42:5) из п. 42.3.1 к критериям п. 27.4 показывает, что необходимы только небольшие изменения. Формула (27.8) из п. 27.4.1 должна*быть заменена на

(42:11) Y = {v(/)-2 v ((/))} *

так как правая часть этой формулы инвариантна относительно преобразования (42:5) и переходит в (27:8) при v (/) = 0 (т. е. в случае игры с нулевой суммой).

Замена формулы (27:8) формулой (42:11).делает необходимой замену нуля на v (/) в правых частях обеих формул критерия (27:В) из п. 27.4.1. Критерии (27:С) и (27:D) из п. 27.4.2 инвариантны относительно преобразования (42:5) и, следовательно, не изменяются.

42.5.2. Теперь мы можем вернуться к обсуждению понятий композиции и разложения игр, рассматривавшихся в пп. 41.3-41.4, для более широкой области всех игр с постоянной суммой.

Все сказанное в п. 41.3 можно повторить дословно.

Когда мы переходим к п. 41.4, снова возникает сформулированный там вопрос (41 :А). Для того чтобы выяснить, нужны ли теперь какие-либо постулаты из п. 41.3.2, кроме (41:6) или (41:7), нам нужно вместо условий (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 исследовать условия (42:6:а) - (42:6:с) (для всех трех функций vr (/?), уд (£), vH (Т)).

Условия (42:6:а) и (42:6:с) проверяются сразу, точно так же как и условия (25:3:а) и (25:3:с) в п. 41.4. Что касается условия (42:6:Ь), то к нему применимо по существу доказательство условия (25:3:Ь), приведенное в п. 41.4, но на этот раз не требуется никаких дополнительных условий (подобных условиям (41:8) или (41:9) п. 41.4). Для упрощения изложения мы приведем это доказательство полностью.

Условие (42:6:Ь). Мы установим его справедливость для функций уд (S) и vH (Г), предполагая, что функция vr (R) ему удовлетворяет. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть только функцию Уд (S).

Должно быть доказано соотношение <42:12) уд (S) + уд (/- S) = уд (/).

Ввиду (41:4) это условие означает, что

{42:12*) vr (S) +vT(J-S) = vr (/).

Для доказательства (42:12*) применим (42:6:Ь) к функции vr (R) и множествам R=J - S и R - J. Для этих множеств соответственно / - R = 5 U К и I - R = K. Тогда равенство (42:12*) примет вид

vr (S) + vr (/) - vr (S U К) = уг (/) - vr (К),

т. е.

vr (S[)K)=vt(S)+yt (К),

а это равенство есть частный случай (41:6) при Т = К.

Итак, мы следующим образом улучшили результат (41 :С) из п. 41.4:

4(42:G) В области всех игр с постоянной суммой игра Г разложима по отношению к множествам J я К (см. 41.3.2) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию (41:6), т. е. (41:7).

42.5.3. Сравнение результатов (41 :С) из п. 41.4 и (42:G) из п. 42.5.2 показывает, что переход от игр с нулевой суммой к играм с постоянной суммой избавляет нас от нежелательного условия разложимости (41:8), т. е. (41:9).

Разложимость теперь определяется только условием (41:6), т. е. (41:7), и инвариантна относительно стратегической эквивалентности, как это и должно быть.

Мы знаем также, что если игра Г разлагается на две компоненты А и Н (причем все они являются только играми с постоянной суммой!), то мы можем все эти игры с помощью преобразования стратегической эквивалентности свести к играм с нулевой суммой (см. (42:С) в п. 42.2.3 для Г, а затем (42:А) п. 42.2.1 и далее для А, Н.)

Таким образом, мы всегда можем иметь дело с одним из двух классов игр - игры с нулевой суммой или игры с постоянной суммой - в зависимости от того, какой из них удобнее для рассматриваемой задачи.

В остальной части этой главы мы будем продолжать рассматривать игры с постоянной суммой, если специально не оговорено противное.

§ 43. РАЗЛАГАЮЩЕЕ РАЗБИЕНИЕ 43.1. Разлагающие множества. Компоненты игры

43.1.1. Разложимость игры Г мы определили не саму по себе, -а по отношению к разбиению множества / всех игроков на два дополнительных друг к другу множества /, К.

Поэтому можно принять следующую точку зрения: будем считать игру Г фиксированной, а множества J я К - переменными. Так как / определяет К (действительно, К=1 - /), достаточно считать единственным переменным /. Тогда возникает следующий вопрос.

Если дана игра Г (с множеством игроков /), то для каких множеств J <=: I (я соответствующих им множеств К - I - J) игра Г является пазложимой?