Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Те множества / ( /), для которых игра Г является разложимой, мы будем называть разлагающими множествами игры Г. Компонента А, которая получается при этом разложении (см. п. 41.2.1 и (41:4) из п. 41.3.2), называется J-компонентой игры Г *).

Таким образом, разлагающее множество / определяется формулой (41:6) (или, что то же самое, формулой (41:7)) из п. 41.3.2, в которой должна быть сделана подстановка К = I - /.

Читатель заметит, что это понятие имеет очень простой интуитивный смысл: разлагающее множество представляет собой самостоятельную группу игроков, которые в рамках правил игры не влияют на других игроков и одновременно не испытывают влияния последних.

43.2. Свойства совокупности всех разлагающих множеств

43.2.1. Совокупность всех разлагающих множеств данной игры характеризуется несколькими простыми свойствами. Большинство из них имеег непосредственный интуитивный смысл, благодаря чему математические доказательства могут показаться необязательными. Тем не менее мы будем продолжать систематическое изложение и приведем доказательства этих свойств, указав в сносках их содержательную интерпретацию. В дальнейшем характеристическую функцию уг (S) игры Г мы будем обозначать через v (£).

(43:А) / является разлагающим множеством тогда и только тогдау

когда разлагающим является его дополнение К = I - / 2).

Доказательство. Множества J ж К входят в определение разложимости Г симметрично.

(43:В) 0 и / являются разлагающими множествами 3).

Доказательство. Равенства (41:6) или (41:7), очевидно, выполнены при / = 0, К - I, так как v (0) =0.

43.2.2.

(43:С) Если /, / - разлагающие множества, то множества / (}J

и / (J J также являются разлагающими.

Замечание. Пересечение J\Jn. Читателю может показаться странным, что два самостоятельных множества вообще могут иметь непустое пересечение. Однако это возможно, как показывает пример / = J . Более глубокая причина кроется в том,-что самостоятельное множество вполне может быть объединением меньших самостоятельных множеств (его собственных подмножеств). (См. (43:Н) из п. 43.3.) Наше утверждение состоит в том, что если два самостоятельных множества /, J имеют непустое пересечение J[\J , то это пересечение также есть самостоятельное подмножество. В этой форме оно, вероятно, покажется правдоподобным.

Объединение J\]J . Тот факт, что объединение двух самостоятельных множеств есть снова самостоятельное множество, представляется обоснованным. Оно может стать не столь очевидным, если существует непустое пересечение J{\Jn, но, как обсуждалось выше, этот случай не вносит дополнительных трудностей. Приводимое доказательство в действительности представляет собой в основном точный учет всех возможностей именно этого случая.

Доказательство. Объединение / (J / . Так как /, / - разлагающие множества, равенство (41:6) выполнено для /, К, равных

1) Согласно тому же определению игра Н (см. п. 41.2.1 и (41:5) из п. 41.3.2) является тогда Я-компонентой игры Г (где к - i - /).

2) Утверждение о том, что множество игроков самостоятельно в смысле п. 43.1 очевидно, эквивалентно утверждению о том, что самостоятельно его дополнение.

3) Самостоятельность этих множеств очевидна.



соответственно /, / - /и / - Мы хотим доказать это равенство для множеств J\}J и I - (/ \JJ ). Для этого рассмотрим два множества: Sg/U/ и Т д= I - (/ у / ). Пусть S = S{]Jf; тогда S = S - £ содержится в дополнении к и так как S / \)J , S содержится также в Итак, S = S [j S <= Г, Ss Теперь £ S I - J, и формула (41:6), примененная к множествам Г, / - дает

(43:1) у(£) = у(£) + у(£*).

Далее, S I - Г ж Т с= I-{Г \) J ) I - Г, так что £ й Тс= / -Кроме того, £ s /. Очевидно, что S \){S \) Т) = S[)T. Следовательно, формула (41:6), примененная к множествам / - также дает

(43:2) v (S U Т) = v (5) + v (5 U Т).

Наконец, и Т I--{J\)J ) I- J . Поэтому формула (41:6)

для множеств / - J дает

(43:3) v (5 []Т) = у (S ) + v (Т).

Подставим теперь (43:3) в (43:2) и затем упростим правую часть по формуле (43:1); в результате мы получим равенство v (S [] Т) = v (S) + v (Г), которое представляет собой формулу (41:6), что и требовалось.

Пересечение / П Воспользуемся (43:А) и только что установленным результатом. Так как / - разлагающие множества, мы последовательно получаем, что разлагающими являются множества / - /, / - / , (/ - /) U (/ - Л =/-(/ П J ) г) и / П последнее множество является требуемым.

43.3. Описание совокупности всех разлагающих множеств. Разлагающее разбиение

43.3.1. Может оказаться, что не существует разлагающих множеств, отличных от тривиальных 0 и / (см. (43:В) выше). В этом случае мы будем называть игру Г неразложимой 2). Не изучая этот вопрос подробнее 3), мы продолжим исследование раз лагающих множеств игры.

(43:D) Рассмотрим разлагающее множество / игры Г и /-компоненту А игры Г. В этом случае множество J J является разлагающим множеством игры А тогда и только тогда, когда оно является разлагающим множеством игры Г 4).

Доказательство. Ввиду (41:6) и (41:4) / является разлагающим множеством игры А, если

(43:4) v(S[)T) = v(S) + v(T) для Г<=/-/.

х) Дополнение пересечения равно объединению дополнений.

2) Фактически большинство игр являются неразложимыми; в противном случае критерий (42:G) п. 42.5.2 требует выполнения ограничительных уравнений (41:6), (41:7) п. 41.3.

3) Пока! См. сноску 2 выше и приведенные в ней ссылки.

4) Самостоятельность внутри самостоятельного подмножества эквивалентна самостоятельности в исходном (всем) множестве. Это утверждение может показаться очевидным, однако это не так, что будет видно из доказательства.



(Мы пишем v(S)- вместо vT(S).) Снова ввиду (41:6) / является разлагающим множеством игры Г, если

(43:5) v(S{]T) = v(S) + v(T) для S с= Т д= I-J.

Мы должны доказать эквивалентность условий (43:4) и (43:5). Так как / 9= /, очевидно, что (43:4) есть частный случай (43:5), поэтому нам необходимо доказать только, что из (43:4) следует (43:5).

Предположим поэтому, что выполнено условие (43:4). К игре Г мы можем применить формулу (41:6) с множествами /, К = I - /.

Рассмотрим два множества: S s /, Т <=: I - J. Пусть Т = T[)J, тогда Т = Т - Г содержится в / - /. Таким образом, Т = Г \] Т , Т J, Т <=: I - J, и применение к игре Г (41:6) с множествами J, I - J дает

(43:6) v(T)=v(T) + \(T ).

Далее, S s / S / и Г сг /, так что S [) Г д= /. Кроме того, Г д= / - /. Очевидно, что (S\j Т)\]Т = S[) Т. Следовательно, применение к игре Г (41:6) с множествами J, I - J дает, кроме того,

(43:7) v (S U Т) = v (S U Г) + v (Т ).

Наконец, Tc=I-J и Тs /, так что Г д=/ - /. Следовательно, (43:4) дает нам

(43:8) w(S\)T)=y(S)+y(T).

Подставим теперь (43:8) в (43:7) и с помощью (43:6) упростим правую часть; эти преобразования дают в точности требуемую формулу (43:5).

43.3.2. Утверждение (43:D) показывает, что стоит рассматривать только такие разлагающие множества /, для которых / Ф 0, но никакое собственное подмножество / Ф 0 множества / разлагающим не является. Такое множество /, по очевидным причинам, мы будем называть минимальным разлагающим множеством.

Рассмотрим наши определения неразложимости и минимальности. Из (43:D) сразу следует, что

{43:Е) /-компонента А игры Г неразложима тогда и только тогда, когда / есть минимальное разлагающее множество.

Минимальные разлагающие множества образуют совокупность, обладающую очень простыми свойствами, и определяют систему всех разлагающих множеств. Эти свойства выражаются следующими утверждениями:

(43:F) Любые два различных минимальных разлагающих множества

не пересекаются.

(43: G) Объединение всех минимальных разлагающих множеств равно /.

(43:Н) Составляя объединения по всевозможным семействам минимальных разлагающих множеств, мы получим в точности совокупность всех разлагающих множеств х).

2) Интуитивный смысл этих утверждений должен быть совершенно ясен. Они правдоподобным образом описывают структуру всех возможных способов разложе-лия игры Г.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227