Доказательство (43:F). Пусть /, / - два минимальных разлагающих множества, имеющих непустое пересечение. Тогда согласно (43:С) / (]J Ф 0 есть разлагающее множество, которое содержится и в /, и в / . Из минимальности / и / следует, что / f] J равно как /, так и / . Следовательно, / = / .

Доказательство (43:G) Достаточно показать, что каждое к 6 I принадлежит некоторому минимальному разлагающему множеству.

Существуют разлагающие множества, которые содержат игрока к (например, /). Пусть / - пересечение всех таких множеств. Согласно (43:С) / есть разлагающее множество. Если бы / не было минимальным, то существовало бы разлагающее множество / Ф 0, / и содержащееся в /. Но согласно (43:А), (43:С) множество / = /-/ = /f] (/ - /) также является разлагающим, и очевидно также / Ф 0, /. Либо /, либо / = / - / должно содержать к; пусть, например, это будет множество /. Тогда / содержится среди тех множеств, пересечением которых является множество /. Поэтому / /. Но это невозможно ввиду того, что / / и J ф J,

Доказательство (43:Н). Объединение произвольного семейства минимальных разлагающих множеств является, согласно (43:С), разлагающим множеством, так что нам остается только доказать обратное.

Пусть К - разлагающее множество. Если / - минимальное разлагающее множество, то, согласно (43:С), J(\K есть разлагающее множество; кроме того, J{\K е /; поэтому либо J{]K = 0, либо J{]K = J. В первом случае / и К не пересекаются, во втором / К. Итак, мы видим следующее:

(43:1) Каждое минимальное разлагающее множество / либо не пере-

секается с К, либо содержится в К.

Пусть К - объединение первых множеств /, а К - объединение вторых. К U К есть объединение всех минимальных разлагающих множеств, и, следовательно, согласно (43:G)

По определению, К* не пересекается с К, а К содержится в К, т. е.

Из совместного выполнения условий (43:9) и (43:10) необходимо следует, что К = К; поэтому К есть объединение соответствующей совокупности минимальных множеств, что и требовалось.

43.3.3. Утверждения (43:F) и (43:G) показывают, что минимальные разлагающие множества образуют разбиение множества / в смысле п. 8.3.1, а их объединение равно /. Это разбиение мы будем называть разлагающим разбиением игры Г и будем обозначать его через Пг. Теперь утверждение (43:Н.) можно выразить следующим образом:

(43:Н*) Разлагающее множество К I характеризуется следующим свойством: точки каждого элемента Пг находятся в одном и том же отношении к множеству К - иначе говоря, каждый элемент Пг либо содержится в К, либо не пересекается с К.

Таким образом, Пг показывает, насколько далеко можно продвинуться в разложении игры Г в /, не нарушая наложенных правилами

(43:9)

К\]К =1.

(43:10)

К <= I - К,

Кс=К.

игры Г связей между игроками х). Ввиду (43:Е) элементы Пг характеризуются также и Tejjf свойством, что они разлагают Г на неразложимые компоненты.

43.4. Свойства разлагающего разбиения

43.4.1. После того как установлена природа разлагающего разбиения Пг, естественно изучить влияние степени тонкости этого разбиения. Мы собираемся исследовать только два крайних случая: случай, когда Пг является настолько мелким, насколько это возможно, т. е. когда оно разбивает множество / на одноэлементные множества, и случай, когда Пг является настолько крупным, насколько это возможно, т. е. когда оно не разбивает / совсем. Другими словами, в первом случае Пг есть совокупность всех одноэлементных множеств (в /), а во втором случае Пг состоит из одного множества /.

Смысл этих двух крайних случаев легко устанавливается следующим утверждением:

(43:J) Пг есть совокупность всех одноэлементных множеств (в /)

тогда и только тогда, когда игра несущественна.

Доказательство. Из (43:Н) или (43:Н*) ясно, что устанавливаемое свойство Пг эквивалентно утверждению о том, что все множества / ( /) являются разлагающими. Иначе говоря (ввиду (43:1)), для дополняющих друг друга множеств / и К ( = / - /) игра Г является разложимой. Это означает, что во всех этих случаях выполнено равенство (41:6). Отсюда, однако, следует, что условие, налагаемое равенством (41:6) на множества S, Т (т. е. S /, Т К), означает просто, что множества S, Т не пересекаются. Таким образом, наше утверждение принимает вид

v(S[)T)=v(S) + v(T) для5ПГ=0.

Но согласно (27:D) из п. 27.4.2 это есть условие несущественности.

(43:К) Пг состоит из множества / тогда и только тогда, когда игра Г неразложима.

Доказательство. Из (43:Н) (или (43:Н*)) следует, что устанавливаемое свойство Пг эквивалентно утверждению о том, что множества 0, / являются единственными разлагающими множествами. Но это есть в точности определение неразложимости, данное в начале п. 43.3.

Эти результаты показывают, что неразложимость и несущественность являются двумя крайними возможностями для игры. В частности, несущественность означает, что разложение игры Г, описанное в конце п. 43.3, можно довести до отдельных игроков, не нарушая никаких связей, установленных правилами игры Г2). Читатель должен сравнить это утверждение с нашим первоначальным определением несущественности в п. 27.3.1.

43.4.2. Между несущественностью, разложимостью и числом п игроков существует следующая связь.

п = 1. Это случай едва ли имеет практическую важность. Очевидно, такая игра неразложима 3), и в то же время она несущественна по первому замечанию п. 27.5.2.

х) То есть, не нарушая свойство самостоятельности полученных в результате разложения множеств.

2) То есть в этой игре каждый игрок представляет самостоятельное множество.

3) Так как / - одноэлементное множество, единственными его подмножествами являются множества 0,1.

Нужно заметить, что неразложимость и несущественность ввиду (43:J) и (43:К) несовместимы при п 2, но не при п = 1.

п = 2. Такая игра также должна быть несущественной ввиду первого замечания п. 27.5.2. Следовательно, она разложима.

л 3. Для таких игр разложимость есть явление исключительное. Действительно, из разложимости следует равенство (41:6) для некоторого / ф 0,7; следовательно, К = I - / Ф 0, /. Поэтому мы можем выбрать j из /, к из К. Тогда равенство (41:6) для S =(/), Т = (к) дает

(43:11) у((;, A)) = v((;)) + v((A)).

Но единственные уравнения, которым должны удовлетворять значения v (5), суть (25:3:а) и (25:3:Ь) из п. 25.3.1 (если рассматриваются игры с нулевой суммой) или (42:6:а) и (42:6:Ь) из п. 42.3.2. Уравнение (43:11) не является ни одним из них, так как в него входят только множества (/), (к), (/, /с), а это не те множества, которые входят в уравнения для v (S) (т. е. не 0, /, и не множества, дополняющие друг друга), так как пЗ1). Таким образом, (43:11) является дополнительным условием, которое, вообще говоря, не выполняется.

Согласно сказанному выше, в неразложимой игре не может быть п = 2, следовательно, в такой игре п = 1 или п 3. Комбинируя это утверждение с (43:Е), мы получаем следующий своеобразный результат:

(43:L) Каждый элемент разлагающего разбиения Пг есть либо одно-

элементное множество, либо же содержит пЗ элементов.

Заметим, что одноэлементные множества в Пг суть одноэлементные разлагающие множества 2), т. е. они соответствуют тем игрокам, которые представляют собой самостоятельные множества, отделенные от остальных игроков игры (с точки зрения стратегии коалиций). Они являются болванами в смысле п. 35.2.3 и замечания на стр. 340. Следовательно, наш результат (43:L) выражает следующий факт: игроки, не являющиеся болванами , объединены в неразложимые компоненты, каждая из п 3 игроков. Это, по-видимому, является общим принципом социальной организации.

§ 44. РАЗЛОЖИМЫЕ ИГРЫ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ 44.1. Решение разложимой игры и решения ее компонент

44.1. Мы завершили описательную часть нашего изучения композиции и разложения. Перейдем теперь к центральной части задачи - к исследованию решений в разложимой игре.

Рассмотрим игру Г, разложимую для множеств / и / - / = К с /- и Z-компонентами А и Н. Мы используем стратегическую эквивалентность, как это было показано в начале п. 42.5.3, для сведения всех трех игр к играм с нулевой суммой.

Предположим, что решения игры А, так же как и решения игры Н, известны; определяет ли это тогда решение игры Г? Другими словами, как получить решения разложимой игры из решений ее компонент? По этому поводу существует предположение, которое на первый взгляд представляется правдоподобным и к формулировке которого мы перейдем.

*) Для п = 2 это не так; (/, к) = 7, (/) и (к) являются дополнительными друг другу множествами.

2) Такое разлагающее множество является, конечно, автоматически минимальным.