44.2. Композиция и разложение дележей и множеств дележей

44.2.1. Будем использовать обозначения п. 41.3.1. Но, хотя мы пишем v (S) вместо vr (S), это обозначение заменяет, ввиду (41:4) и (41:5), также уд (S) и vH (S).

С другой стороны, мы должны проводить различие между дележами для игр Г, А, Н х). Для выражения этого различия лучше указывать то множество игроков, к которому относится дележ, а не ту игру, в которую они входят. Иначе говоря, мы будем помечать дележи индексами /, /, К, а не Г, А, Н. В этом смысле мы обозначаем дележи для / (т. е. в игре Г) через -у

(44:1) / = { !. - , а*, г},

а дележи для /, К (т. е. в играх А, Н) соответственно через

(44:2) & = {Pi, ...,Р*}.

(44:3) Т* = {?1-1 Y* }-

Если три таких дележа связаны соотношением

ac = pi для i = l, ..., к\

(44:4) . л .

v a,j = у для 7 = 1 , ..., I ,

->- ->- ->-

то мы говорим, что а/ получается с помощью композиции из Pj и 7Я,

что Pj и 7я получаются с помощью разложения из o&j (для J, К) и что Р/

-> ->

и 7я являются соответственно (/-, К-) компонентами дележа а/.

Так как теперь мы имеем дело с играми с нулевой суммой, все эти дележи должны удовлетворять условиям (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1. Они

сразу проверяются для дележей ос/, ук, связанных соотношением (44:4).

Условие (30:1) из п. 30.1.1. Выполнение его для р7, ук, очевидно,

эквивалентно его выполнению для aj.

Условие (30:2) из п. 30.1.1. Для Pj, ук это условие утверждает (ввиду (44:4)), что

(44:5) 2 аг = 0,

г=1 Z

(44:6) 2 а;* = 0.

j =l

Для а7 оно означает, что

ft г*

(44:7) 2 0Ы-+ 2 а;> = 0.

г=1 i =l

Таким образом, выполнение этого условия для р и уя влечет его выпол-нение для аг, в то время как его выполнение для а/ не влечет его выполнения для Pj и ук; действительно, из (44:7) следует эквивалентность (44:5) и (44:6), но не следует выполнение любого из них.

*) Удобно ввести заново обозначения для игроков из п. 41.3.1.

Итак, мы имеем:

(44:А) Из любых двух дележей р7 и ук можно составить дележ ах,

в то время как дележ aj можно разложить на два дележа и ук тогда и только тогда, когда они удовлетворяют равенству (44:5), т. е. (44:6).

Такой дележ щ мы будем называть разложимым (относительно множеств /, К).

44.2.2. Описанное положение дел аналогично тому, которое имеет место для самих игр: композиция возможно всегда, в то время как разложение не всегда возможно. Здесь также разложимость есть явление исключительное х).

Наконец, нужно заметить, что понятие композиции дележей имеет простой интуитивный смысл. Оно соответствует той же самой операции, согласно которой два отдельных явления рассматриваются как одно

и которая играла соответствующую роль для игр в пп. 41.2.1, 41.2.3,

-> - -

41.2.4. Разложение дележа ocj (на pj, ук) возможно тогда и только тогда,

когда два самостоятельных множества игроков /, К получают в соответ-

->

ствии с множествами дележей а/ справедливые платы , которые равны

нулю. В этом состоит смысл условия (44:А) (т. е. (44:5) и (44:6)).

->

44.2.3. Рассмотрим множество Vj; дележей fjj и множество WK деле-

жей ук. Пусть Uj - множество тех дележей aj, которые получаются

с помощью композиции всех Pj из Vj со всеми ук из WK. Тогда мы будем говорить, что Uj получается с помощью композиции из V/, W#> что Vj, WK получаются с помощью разложения из Ux (для J, К) и что V/, W# являются соответственно (/-, К-) компонентами Uj.

Очевидно, что операцию композиции можно выполнить всегда, каковы бы ни были Vj, Wk, в то время как данное множество Uj не всегда допускает разложение (относительно /, К). Если множество Uj может быть разложено, то мы его называем разложимым (относительно /, К).

Заметим, что разложимость Uj является очень сильным ограничением;

в частности, из него следует, что все элементы а/ из Uj должны быть разложимы (см. интерпретацию разложимости в конце п. 44.2.2).

Для того чтобы полнее проинтерпретировать эти понятия для множеств дележей Uj, Vj, WKy удобно ограничиться решениями игр Г, А, Н.

44.3. Композиция и разложение решений. Основные возможности и предположения

44.3.1. Пусть Vj, - два решения соответственно игр А, Н. Их композиция дает множество дележей U/, которое, как можно ожидать, является решением игры Г. Действительно, U/ представляет собой выражение нормы поведения, которое можно сформулировать следующим образом. Мы дадим словесную формулировку в тексте в виде утверждений (44:В:а) - (44:В:с), приводя в сносках их математические формулировки,

*) Существуют значительные технические различия между понятиями разложимости и т. д. для игр и для дележей. Отметим, однако, аналогию между соотношениями (41:4), (41:5) из п. 41.3.2; (41:8), (41:9), (41:10) из п. 41.4.2 и соотношениями (44:4), (44:5), (44:6), (44:7).

которые, как проверит читатель, в точности соответствуют нашему определению композиции.

(44:В:а) Игроки из / всегда получают в совокупности свои справедливые платы (нуль), и то же самое верно для игроков из К1).

(44:В:Ь) Не существует никакой связи между судьбой игроков из множества / и игроков из множества К 2).

(44:В:с) Судьба игроков из / определяется нормой поведения Vj3), а судьба игроков из К определяется нормой поведения W# 4).

Если представить себе, что две компоненты игры возникли совершенно независимо друг от друга, то это есть правдоподобный способ рассматривать их отдельные решения Vj, WK как единое решение Uj составной игры Г.

Однако, так как решение есть понятие точное, это утверждение нуждается в доказательстве, т. е. мы должны доказать следующее:

(44:С) Если Vj, WK - решения игр А, Н, то их композиция Uj есть

решение игры Г.

44.3.2. Это утверждение, кстати, представляет собой другой пример характерного соотношения между здравым смыслом и математической строгостью. Хотя некоторое утверждение (в нашем случае - утверждение о том, что Uj есть решение, если решениями являются Vj, WK) вытекает из здравого смысла, оно не является обоснованным в пределах теории (в нашем случае - на основании определений п. 30.1.1), пока оно не доказано математически. В этих пределах могло бы показаться, что строгость важнее, чем здравый смысл. Такое утверждение, однако, ограничено дальнейшим соображением, состоящим в том, что если математическим доказательством не удается установить результат, вытекающий из здравого смысла, то имеются веские доводы для того, чтобы вообще отказаться от соответствующей теории. Таким образом, примат математического метода распространяется только на установление контроля над теориями - таким путем, который не был бы доступен одному только здравому смыслу.

Мы увидим, что утверждение (44:С) верно, хотя и не тривиально. Хотелось бы ожидать, что также верно утверждение, обратное утверждению (44:С), т. е. потребовать доказательства следующего утверждения:

(44:D) Если Uj - решение Г, то его можно разложить на решения Vj, W* игр А, Н.

На первый взгляд это утверждение весьма правдоподобно: так как игра Г фактически есть композиция двух совершенно независимых игр, то каким образом какое-либо решение игры Г могло бы не отразить эту ее составную структуру?

Однако удивительный факт состоит в том, что утверждение (44:D), вообще говоря, неверно. Читатель мог бы подумать, что этот факт должен заставить нас отказаться от нашей теории (т. е. в смысле п. 30.1.1) или,

*) Каждый элемент а/ из Uj разложим.

2) Любой дележ Pj, использованный для образования Uj, и любой дележ у#, использованный для образования Uj, в результате композиции дают элемент а7 из Uj.

3) Упомянутые выше дележи 3j являются в точности элементами Vj.