*) Этот факт аналогичен явлению, состоящему в том, что симметричная игра может иметь несимметричное решение; см. п. 37.2.1.

до крайней мере, существенно ее модифицировать, если мы серьезно принимаем сформулированное выше методологическое положение. Однако мы покажем, что предпосылки для утверждения (44:D), основанные на здравом смысле , весьма сомнительны. Действительно, наш результат, противоречащий утверждению (44:D), получит весьма правдоподобную интерпретацию, которая с успехом связывает его с хорошо известными явлениями в социальных организациях.

44.3.3. Правильное понимание причин ложности утверждения (44:D) и обоснованности теории, которая его заменяет, делает необходимыми более детальные исследования. Прежде чем перейти к ним, было бы полезно сначала сделать некоторые разъяснения относительно того, почему утверждение (44:D) оказывается неверным.

Утверждение (44:D) естественно разбить на два:

(44:D:a) Если Uj - решение игры Г, то оно разложимо (относительно J, К).

(44:D:b) Если решение Uj игры Г разложимо (относительно /, К), то его компоненты Yj, WK являются решениями игр А, Н.

Теперь будет показано, что утверждение (44:D:b) верно, a (44:D:a) - нет, т. е. может оказаться, что разложимая игра обладает неразложимым решением *).

Однако разложимость решения (или любого множества дележей) выражается условиями (44:В:а) - (44:В:с) из п. 44.3.1. Поэтому для неразложимого решения, о котором говорилось выше, одно или более из этих условий должно нарушаться. Окажется (см. п. 46.11), что условием, которое нарушается, является условие (44:В:а). Этот факт может показаться очень серьезным, потому что условие (44:В:а) является основным в том смысле, что если оно нарушается, то условия (44:В:Ь), (44:В:с) нельзя даже сформулировать.

Понятие разложения обладает некоторой Гибкостью. Это его свойство проявилось в пп. 42.2.1, 42.2.2 и 42.5.2, где нам удалось модификацией этого понятия избавиться от неудобного дополнительного условия, связанного с разложимостью игры. Мы увидим, что нам снова удается обойти трудности с помощью этого приема, так что утверждение (44:D) будет заменено правильной и удовлетворительной теоремой. Поэтому мы должны стремиться так модифицировать нашу систему, чтобы от условия (44:В:а) можно было отказаться.

Мы достигнем этой цели, и тогда станет ясно, что условия (44:В:Ь) и (44:В:с) не представляют трудностей и* что можно получить законченный результат.

44.4. Обобщение теории. Внешние источники

44.4.1. Теперь пришло время отказаться от ограничения, которое мы временно ввели в п. 44.1; это ограничение состоит в том, что все рассматриваемые игры являются играми с нулевой суммой. Мы возвращаемся к точке зрения п. 42.2.2, согласно которой все игры являются играми е постоянной суммой.

Приняв это соглашение, рассмотрим игру Г, являющуюся разложимой (относительно /, К) соответственно с /-, Z-компонентами А, Н.

Теорию композиции и разложения дележей, изложенную в пп. 44.2.1, 44.2.2, теперь можно повторить с незначительными изменениями.

Соотношения (44:1) - (44:4) могут быть оставлены без изменений, а в равенствах (44:5) - (44:7) изменяются только правые части. Так как соотношение (30.2) из п. 30.1.1 было заменено условием (42:8*) из п. 42.4.1, формулы (44:5) - (44:7) теперь принимают вид

(44:5*) J a, = v(/)f

i=l ,

(44:6*) S ay = v(K)

hf V

(44;7*) 2 at + 2 ai = v (/) = v (7) + v (К).

i=l j -=l

(Последнее равенство в правой части имеет место ввиду (42:6:Ь) из п. 42.3.2 или, что то же самое, ввиду (41:6) из п. 41.3.2, где S = /, Т = К.) Эта ситуация в точности соответствует ситуации п. 44.2.1; действительно, она получается из последней с помощью изоморфизма п. 42.4.2.

Таким образом, дележ dfcj удовлетворяет условию (44:7*), но для его разложимости необходимо выполнение условий (44:5*), (44:6*); вместе с тем из (44:7*) в действительности следует лишь эквивалентность условий (44:5*) и (44:6*), но не следует выполнение какого-либо из них.

Таким образом, критерий разложимости (44:А) из п. 44.2.1 по-прежнему верен, только с условиями (44:5*) и (44:6*) вместо условий (44:5) и (44:6). Здесь можно повторить окончательное заключение п. 44.2.2:

разложение дележа aj (на ук) возможно тогда и только тогда, когда ->

этот дележ а/ предписывает этим двум самостоятельным множествам игроков /, К в точности то, что им положено,- теперь эти величины суть v (/), v (К) *).

Так как мы знаем, что это ограничение для разложимости дележей, причиной которого .является (44:В:а) из п. 44.3.1, есть источник трудностей, мы должны снять его. Это означает снятие условий (44:5*) и (44:6*), т. е. условия (42:8*) п. 42.4.1, из которого они вытекают.

44.4.2. В соответствии со сказанным выше, мы попытаемся развить теорию игры Г с постоянной суммой с новым понятием дележей, которое основано только на условии (42:7) из п. 42.4.1 (т. е. на (30:1) из п. 30.1.1), без требования (42:8*) из п. 42.4.1.

Другими словами 2), обобщенный- дележ представляет собой набор чисел G&!, . . ., an, обладающих следующим свойством:

(44:8) a* v ((г)) для i = 1, . .., /г.

Мы не налагаем никаких условий на 2 а*- Эти обобщенные дележи

мы также будем рассматривать как векторы

->

a = {a4, ..., ап}.

) Вместо нуля, как указывалось выше.

!) Мы снова обозначаем игроков через 1, . . ., тг.

§ 4 4] РАЗЛОЖИМЫЕ ИГРЫ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ 377

44.4.3. Теперь будет необходимо пересмотреть все наши определения, связанные с понятием дележа, т. е. определения пп. 30.1.1 и 44.2.1. Но сначала стоит этому понятию обобщенного дележа дать интерпретацию.

Сущность этого понятия состоит в том, что оно представляет собой распределение некоторых величин между игроками, причем не требуется, чтобы в сумме они составляли постоянную сумму игры Г.

Такое соглашение не соответствовало бы ситуации, в которой игроки имеют дело только друг с другом. Однако мы всегда можем понимать дележ как схему распределения, предложенную совокупности всех игроков. (Эта идея проходит, например, целиком через пп, 4.4, 4.5; она очень ясна и в п. 4.4.1.) Такое предложение может исходить от одного из игроков г)ь но это несущественно. Равным образом, мы можем представить себе, что различные дележи представляются на рассмотрение игроков Г из внешнего источника. Все это согласуется с нашими предыдущими исследованиями, но во всех них эти внешние источники проявляются только как источники предложений, не прибавляющие и не изымающие ничего . из доходов игры.

44.5. Эксцесс

44.5.1. Теперь наше понятие обобщенных дележей можно использовать для выражения того факта, что внешние источники могут делать

предложения, которые фактически допускают вклады или изъятия,

->

т. е. передачи. Для обобщенного дележа а = (а1? . . ., ап} величина этой передачи равна

(44:9) е=% af-v(/)

и будет называться эксцессом дележа а. Так,

е>0 для вклада, (44:10) е = 0, если передача не осуществляется,

£<0 для изъятия.

Для того чтобы получить реалистичные задачи, необходимо будет подчинить этот эксцесс некоторым подходящим ограничениям; в дальнейшем это мы должным образом используем.

Важно понять, каким образом эти передачи взаимодействуют с игрой. Передачи представляют собой часть предложений, поступающих извне, которые принимаются или отвергаются игроками, действующими друг против друга в соответствии с принципами доминирования и т. д. 2).

2) Который пытается образовать коалицию. Так как мы рассматриваем весь дележ как предложение этого игрока, это заставляет нас предполагать, что он делает предложение даже тем игрокам, которые не будут включены в коалицию. Этим игрокам он может предложить их минимальные выигрыши v ((i)) (а возможно, и больше, см. пп. 38.3.2 и 38.3.3). Могут оказаться игроки, находящиеся в промежуточных положениях между положениями быть включенным в коалицию и быть исключенным из коалиции (см. вторую альтернативу в п. 37.1.3). Конечно, игроки, находящиеся в менее благоприятном положении, могут сделать свою неудовлетворенность эффективной, что приведет к понятию доминирования и т. д.

2) Это, конечно, узкое и, возможно, даже несколько произвольное описание социальных процессов. Однако нужно помнить, что мы используем его только для определенной и ограниченной цели: определить состояния устойчивого равновесия, т. е. решения.-Заключительные замечания п. 4.6.3 должны сделать это утверждение достаточно ясным.