Промышленный лизинг
Методички
44.7.3. Теперь можно взять определение решения из п. 30.1.1. Ввиду центральной роли, которую играет это понятие, мы сформулируем его заново, модифицировав его применительно к новым условиям. В приводимом ниже определении можно всюду заменить Е (е0) на F (е0), что отмечено квадратными скобками. Множество V s Е (е0) [F (е0)] называется решением для Е (е0) [F (е0)], если оно обладает следующими свойствами: -> (44: Е:а) Никакой дележ Р £ V не доминируется никаким дележом а 6 V. {44:Е:Ь) Каждый дележ Р 6 Е (е0) [F (е0)], не принадлежащий V, доми- - нируется некоторым дележом а £ V. * (44:Е:а) и (44:Е:Ь) можно сформулировать в виде единственного условия: (44:Е:с) V состоит из тех элементов Е (е0) IF (е0)], которые не доми-нируются никаким элементом из V. Заметим, что Е (0) возвращает нас к исходным определениям п. 30.1.1 (игра с нулевой суммой) и п. 42.4.1 (игра с постоянной суммой). 44.7.4. Понятия композиции, разложения и компонент для обобщенных дележей снова можно определить согласно (44:1) - (44:4) из п. 44.2.1. Как указывалось в п. 44.4.2, техническая цель нашего обобщения понятия дележа теперь осуществлена. Разложение, а также и композиция, теперь всегда могут быть выполнены. Связь этих понятий с множествами Е (е0) и F (е0) не очень проста; мы будем иметь дело с ней по мере надобности. Для композиции, разложения и компонент множеств обобщенных дележей теперь можно повторить дословно определения п. 44.2.3. § 45. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЭКСЦЕСС. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ 45.1. Нижняя граница эксцесса 45.1. В случаях, рассмотренных в пп. 30.1.1 и 42.4.1, дележи существуют всегда. Теперь положение иное: любое из множеств Е (е0), F (е0) для некоторых е0 может быть пустым. Очевидно, это произойдет в случае, когда (44:11*) или (44:12*) из п. 44.7.2 будут противоречить (44:13) из того же пункта,- это, очевидно, будет тот случай, когда для обеих альтернатив выполняется неравенство v (/) + * < Sv((0). Так как ввиду (42:11) из п. 42.5.1 правая часть равна v(I) - ny, это неравенство означает, что (45:1) е0<.пу. Если Е (е0) [F (е0)] пусто, то очевидно, что пустое множество является решением для себя, а так как оно является единственным своим подмножеством, то оно является также единственным своим решением х). Если х) Несмотря на свою тривиальность, это обстоятельство не должрго быть оставлено без внимания. Здесь текст фактически повторяет сноску 2 на стр. 297. же, с другой стороны, Е (е0) [F (е0)] непусто, то никакое из его решений не может быть пустым. Это следует из дословного повторения доказательства (31:J) из п. 31.2.1. Правая часть неравенства (45:1) определяется игрой Г; для этой величины (взятой с противоположным знаком и с учетом (42:11) из п. 42.5.1) мы введем следующее обозначение: (45:2) I Г U = Y = v (/) - S v (( )). Теперь мы можем подытожить наши замечания следующим образом: (45:А) Если е0 < - Г f 4, то множества Е (е0) и F (е0) пусты, и пустое множество является их единственным решением. В противном случае шГ Е (е0), ни F (е0), а также никакое решение любого из этих множеств не может быть пустым. Этот результат дает первое указание на то, что существуют слишком малые значения е0 (т. е. ё) в смысле п. 44.6.1. Действительно, он подтверждает количественную оценку из сноски 1 на стр. 379. 45.2. Верхняя граница эксцесса. Исключенные и вполне исключенные дележи 45.2.1. Обратимся теперь к тем значениям е0 (т. е. е), которые слишком велики в смысле п. 44.6.1. Когда проявится дезорганизующее влияние величины е, которое мы там предвидели? Как указывалось в п. 44.6.1, критическое явление состоит в следующем: эксцесс может быть слишком велик, чтобы его можно было полностью исчерпать требованиями, которые любой игрок в любой воображаемой коалиции, возможно, мог бы выдвинуть. Мы переходим к количественной формулировке этой мысли. Лучше всего рассматривать сами обобщенные дележи, а не их эксцессы е. Такой дележ а находится за пределами любых требований, которые могут быть выдвинуты в любой коалиции, если он назначает игрокам* каждого (непустого) множества S I больше, чем эти игроки могли бы получить, образуя коалицию в Г, т. е. если для каждого непустого множества S I (45:3) 2 at>Y(S). i£S Сравнение этого неравенства с (30:3) из п. 30.1.1 показывает, что наш критерий означает требование, состоящее в том, что каждое непустое множество S является для а неэффективным. В наших фактических рассуждениях будет выгодно несколько расширить ограничение (45:3) включением предельного случая равенства. Тогда это условие примет вид (45:4) 2 at v для каждого S s / х). Этим дележам а удобно дать специальное название. Дележи а, удовлетворяющие условию (45:3), мы будем называть вполне исключенными, г) Больше нет необходимости исключать случай S = 0, так как неравенство (45:4), в отличие от неравенства (45:3), справедливо при S = 0. Действительно, в этом случае обе части неравенства обращаются в нуль. 2) Интуитивный смысл этих утверждений чрезвычайно прост: правдоподобно, что для того, чтобы получить исключенный или вполне исключенный дележ, необходим некоторый (положительный) минимум эксцесса. I Г 2 есть этот минимум, или, вернее, нижняя граница. Так как понятия исключенный и вполне исключенный отличаются только предельным случаем (знак равенства в соотношении (45:4)), имеются основания для того, чтобы их нижние границы были равны. Эти факты выражены точно в утверждении (45:В). 2) Заметим, что это необходимо доказать! Оценка, которую мы приводим здесьг является грубой; относительно более точных оценок см. (45:F) ниже. а дележи, удовлетворяющие условию (45:4),- исключенными. Как указывалось, последнее понятие будет действительно необходимо в наших доказательствах - оба термина предназначены для выражения того факта, что обобщенный дележ исключен из игры, т. е. он не может быть эффективно поддержан в игре никакой коалицией. 45.2.2. Полезно еще одно замечание. Единственным ограничением, наложенным на обобщенные, дележи, является условие (44:13) из п. 44.7.2; (45:5) а,- v ((i)) для i - 1, ..., п. Если теперь выполнено требование (45:4), чтобы дележ был исключенным,- а следовательно, и тем более, если выполнено требование (45:3), чтобы дележ был вполне исключенным,- то нет необходимости дополнительно постулировать условие (45:5). Действительно, (45:5) есть частный случай (45:4) для S = (i). Это замечание будет неявно использовано в последующих доказательствах. 45.2.3. Теперь мы можем вернуться к эксцессам, т. е. охарактеризовать те эксцессы, которые принадлежат исключенным (или вполне исключенным) дележам. Формальная характеристика такова: (45:В) Игра Г определяет число [ Г j 2, обладающее следующими свойствами: (45:В:а) Вполне исключенный обобщенный дележ с эксцессом е существует тогда и только тогда, когда е > Г 12. (45:В:Б) Исключенный обобщенный дележ с эксцессом е существует тогда .и только тогда, когда е J Г 2 1). Доказательство. Существование исключенного дележа а 2). Пусть а0 - максимум v (S) для всех S / (в том числе а0 v (0) = 0). Положим а° = . . ., ап} = {а°, . . ., а0}. Тогда для каждого непустого множества S I мы имеем S а? = а° J i£S v (S). Это неравенство есть условие (45:4), так что дележ а0 является исключенным. -> Свойства исключенного дележа а. Согласно доказанному выше существуют исключенные дележи а = {аи ..., ап], а вместе с ними и их эксцессы е = а1 - v (/). Ввиду (45:4) (для S = I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 |