все эти эксцессы е неотрицательны. По непрерывности отсюда следует, что эти эксцессы е имеют минимум е*. Выберем исключенный дележ

а* = {а*, . . ., а*}, имеющий этот эксцесс е* *). Положим теперь

(45:6) Г2 = е*.

Доказательство утверждений (45:В:а) и (45:В:Ь). Если а = {oti, . . ., ап} - исключенный дележ, то по определению е =

= 2аг - v СО = Если а = {oti, . . ., ап) - вполне исключенный

дележ, то неравенство (45:3) останется в силе, если из каждого at

->

мы вычтем достаточно малое б > 0. Поэтому дележ а = {ах - - б, . . ., ап - 6} является исключенным. Следовательно, по определению

е -пб=2 (а, -б) -v(/)e*, е>е*.

->

Рассмотрим теперь исключенный дележ а* = {а*, а%}, где

2 o?-v(/) = e*.

Тогда для а* выполнено (45:4); следовательно, если мы каждое а* увеличим на б > 0, то будет выполнено (45:3). Поэтому дележ а = {а* + + 6, . . ctn + 6} является вполне исключенным. Его эксцесс равен

е = 2 (а* + б) - v (/) = е* + /гб. Таким образом, каждый эксцесс е,

равный е* + /гб, т. е. каждый эксцесс е, больший чем е*, является эксцессом вполне исключенного дележа, а следовательно, тем более эксцессом некоторого исключенного дележа; е*, конечно, есть эксцесс исключенного дележа а*.

Таким образом, все части (45:В:а), (45:В:Ь) выполнены при (45:6).

45.2.4. Вполне исключенные и исключенные обобщенные дележи тесно связаны также с понятием доминирования. Соответствующие свойства формулируются далее в (45:С) и (45:D). Они составляют своеобразный антитезис друг другу. Это удивительный факт, так как два наших понятия строго аналогичны друг другу; действительно, второе понятие получается из первого включением его предельных случаев.

(45:С) Вполне исключенный обобщенный дележ а не доминирует

->

никакой другой обобщенный дележ р.

-> -> ~>

Доказательство. Если а е- 3, то дележ а должен иметь непустое эффективное множество.

(45: D) Обобщенный дележ а является исключенным тогда и только тогда, когда он не доминируется никаким другим обобщенным

дележом р.

х) Это использование непрерывности обоснованно ввиду того, что в соотношении (45:4) допускается знак равенства.

Доказательство. Достаточность того, что дележ является ->

исключенным. Пусть а = (а4, . . ., ап} - исключенный дележ. Предпо-

-► ->

ложим противное, т. е. что Р е- а по эффективному множеству S. Тогда S непусто и af < Pi для i £ S. Таким образом, 2az < 2jPz v что

противоречит (45:4).

Необходимость того, что дележ является исключенным. Пусть S - (неизбежно непустое) множество, для которого нарушено условие (45:4), т. е. для которого 2ai < v Тогда для достаточно малого 8 > О спра-

ведливо неравенство

S ( i + d)v(5).

->

Положим р = (Pi, . . ., Р} = {at + б, . . ., а + б}; тогда всегда должно быть аг < P* и S оказывается эффективным для 3: 2Р* = v

-> ->

Таким образом, р е- а.

45,3. Рассмотрение двух границ Г14, Г12. Их отношение

45.3.1. Оба числа Г 4, Г 2, определенные в (45:2) из п. 45.1 и (45:В) из п. 45.2.3, представляют собой способ количественного измерения существенности игры Г. Точнее говоря,

(45:Ё) Если игра Г несущественна, то Г t = 0, Г 2 = 0. Если игра Г существенна, то Г 4 > 0, Г 2 > 0.

Доказательство. Утверждения, касающиеся числа Г j 4, которое ввиду (45:2) из п. 45.1 равно пу, совпадают с определениями несущественности и существенности из п. 27.3 в том виде, в котором они были заново сформулированы в п. 42.5.1.

Утверждения, касающиеся Г12, следуют из соответствующих утверждений относительно Г 4 в силу неравенств (45:F), которые мы можем здесь использовать.

45.3.2. Количественное отношение между Г 4 и Г 2 характеризуется следующим образом.

Всегда

(45:F) iriiriin.

Доказательство. Как мы знаем, [ Г 4 и Г 2 инвариантны относительно стратегической эквивалентности; поэтому мы можем предположить, что игра Г является игрой с нулевой суммой и даже редуцированной в смысле п. 27.1.4. Тогда мы можем использовать обозначения и соотношения из п. 27.2.

Так как Г 4 = пу, мы хотим доказать, что

(45:7) ТГ[22=2)Г.

Доказательство первого из неравенств (45:7). Пусть

->

а = {аи a} - исключенный дележ. Тогда для множества S = I-(к), имеющего п - 1 элементов, (45:4) дает

т. е.

(45:8) S г-ссйу.

Суммирование (45:8) по к = 1, /г дает

п 2 а* - 2 а& гсу,

г=1 ft=l

т. е.

г=1 г=1

Но v (/) = 0, так что е = 2аг- Таким образом, для всех исключенных

дележей е у; следовательно, Г 2 2 ~~~[ У-

Доказательство второго из неравенств (45:7).

Положим а00= у и а00 = , . . ., а°п0} = {а00, . . ., а00}. Этот

дележ а00 является исключенным, т. е. для всех S s I он удовлетворяет неравенству (45:4). Действительно, пусть р - число элементов S. Тогда мы имеем:

р = 0; S = 0, и (45:4) тривиально;

р = 1; £ = (£), и (45:4) принимает вид a00v ((£)), т. е. -- у -уу что очевидно;

р 2; (45:4) принимает вид pa00 v (S); но ввиду (27:7) из п. 27.2

v(S)rg(rc-p) 7,

так что достаточно доказать, что pa00 (п - р) у, т. е. что р -у- у

= (w - Р) Y* Это эквивалентно неравенству у тгу, которое следует

из того, что р 2.

Таким образом, дележ а00 действительно является исключенным. Так как v (/) = 0, эксцесс равен

е№ = па*> = п{п~2)у.

Следовательно, Г 2 п п\-

45.3.3. Заслуживает внимания рассмотрение неравенств (45:F) последовательно для п = 1, 2, 3, 4, ...

п = 1, 2; в этих случаях коэффициент- в нижней границе неравенства больше, чем коэффициент -i в верхней границе1). Это

может показаться абсурдным. Но так как для п = 1, 2 игра Г необходимым образом несущественна (см. первое замечание в п. 27.5.2), в этих случаях мы имеем Г 4 = 0, Г [ 2 = 0, так что противоречия исчезают.

2) Они равны соответственно оо и -1/2 для п = 1 и 1 и 0 для п = 2. Отметим также парадоксальные значения оо и -1/2!.