п = 3j б этом случае два коэффициента и 71 2 совпадают: оба они 1

равны , так что неравенства сводятся к одному уравнению

(45:9) Га = 4-Г1.

п Л; в этих случаях коэффициент--г нижней границы определенно

меньше коэффициента ~2) верхней границы1). Поэтому для Г12 неравенства оставляют здесь невырождающийся интервал.

Нижняя граница Г 2 = I I 1 является точной, т. е. для каждого

7г 4 имеется существенная игра, для которой достигается эта граница. Также существуют для каждого п 4 существенные игры, для которых

Г 2 > J[ZT\ I Г i7 но, по-видимому, достичь верхней границы Г 2 =

= Г 1 в нашем неравенстве невозможно. Точное значение верхней границы до сих пор еще не было найдено. У нас нет необходимости обсуядать эти вопросы здесь или где-либо дальше 2).

45.3.4. Выражаясь более качественно, мы можем поэтому сказать, что Г i и [ Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г. Они измеряют эту существенность различными и до некоторой степени независимыми способами. Действительно, отношение Г2/Г 1? которое не определено для п = 1, 2 (нет существенных игр!) и постоянно для п = 3 (значение его равно V2), изменяется при п 4 вместе с Г.

В пп. 45.1 и 45.2 мы видели, что эти две величины действительно измеряют границы, между которыми заданный эксцесс не будет дезорганизовывать игроков в смысле п. 44.6.1. Согласно нашим результатам, эксцесс е, меньший чем - Г 1? слишком мал , а эксцесс е, больший чем Г 2? слишком велик в этом смысле. Более точный смысл этой точке зрения будет придан в п. 46.8.

45.4. Исключенные дележи и различные решения. Теорема, связывающая Е (е0) и F (е0)

45.4.1. Из (44:Е:с) в определении решения в п. 44.7.3 и результата (45:D) п. 45.2.4 сразу следует утверждение.

(45:G) Решение V для множества Е (е0) [F (е0)] должно содержать каждый исключенный обобщенный дележ из Е (е0) [F (е0)].

Важность этого результата состоит в той роли, которую он будет играть в последующих исследованиях.

\ п 2

*) -т< -о- означает, что 2 < (п - 1) (п - 2), что, очевидно, справедливо

для всех п 4.

2) Для п = 4 наше неравенство принимает вид - Г 4 Г2= Г 4. Как

отмечалось выше, мы знаем существенную игру, для которой Г 2 = 1 Г 14, а также

игру, для которой Г 2 = 2 I Г I 1-

После того, что было сказано о роли Е (е0) и F (е0) в начале п. 44.7.2, становится очевидной важность установления исчерпывающих взаимосвязей между этими двумя случаями. Иначе говоря, мы должны установить связь между решениями для Е (е0) и F (е0).

Оценить интуитивно все различие между Е (е0) и F (е0) и их решениями нелегко. Заранее трудно понять, почему вообще должно появиться какое-либо различие: в первом случае дар , полученный игроками извне, имеет заданное значение е0, а во втором случае задано его максимальное значение е0. Трудно понять, каким образом в устойчивой норме поведения (т. е. в решении) внешнему источнику , который хочет вложить не больше, чем е0, когда-либо будет дана возможность вложить меньше, чем е0. Однако наш прошлый опыт предостерегает нас от поспешных заключений в этом отношении. Так, в пп. 33.1 и 38.3 мы видели, что уже игры трех и четырех лиц имеют решения, в которых изолированный и потерпевший поражение игрок не эксплуатируется до предела физических возможностей, и исследуемый сейчас случай до некоторой степени аналогичен этому.

45.4.2. (45:G) дает нам возможность сформулировать более точное утверждение:

Согласно (45: G), исключенный обобщенный дележ а принадлежит каждому решению для F (е0), если он принадлежит F (е0). С другой

стороны, дележ а, очевидно, не может принадлежать никакому решению для Е (е0), если он не принадлежит Е (е0). Введем теперь определение:

(45:10) D* (е0) есть множество всех исключенных обобщенных дележей а, принадлежащих F (е0), но не принадлежащих Е (е0).

Итак, мы видим, что любое решение для F (е0) содержит все элементы Z)* (е0); любое решение для Е (е0) не содержит элементов /)* (е0). Следовательно, если/)* (е0) непусто, то F (е0) и Е (е0) наверняка не имеют общих решений.

Далее, исключенный дележ а £ D* (е0) характеризуется тем, что он имеет эксцесс е, не больший чем е0, но не равный е0у т. е. он характеризуется неравенством

(45:11) е<е0.

Из этого мы заключаем, что

(45:Н) D*(e0) пусто тогда и только тогда, когда 0Г2.

Доказательство. Ввиду (45:В) и (45:11) множество Z)* (е0) непусто тогда и только тогда, когда существует число е0, удовлетворяющее неравенствам Г ( 2 е < т. е. е0 > Г 2. Следовательно, Z)* (е0) пусто тогда и только тогда, когда е0 ) Г 2.

Таким образом решения для F (е0) и Е (е0), несомненно, различны, когда е0 > Г 2. Этот факт является еще одним доказательством того, что эксцесс е0 слишком велик для нормального поведения, когда он больше j Г 2.

45.4.3. Теперь мы можем доказать, что указанное выше различие между решениями для Е (е0) и F (е0) является единственным. Точнее это выглядит так:

(45:1) Соотношение

(45:12). \W = \[jD*(e0)

устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми решениями V для Е (е0) и всеми решениями W для F(eQ).

Это утверждение будет доказано в следующем пункте.

45.5. Доказательство теоремы

45.5.1. Мы начнем с доказательства некоторых вспомогательных лемм.

Первая лемма состоит в совершенно очевидном утверждении, имеющем, однако, широкие приложения:

-У ~>

(45: J) Пусть два обобщенных дележа у = {у4, ..., уп} и б = {б1? ..., дп}

связаны соотношением

(45:13) yt}>di для всех £ = 1, ...,тг;

тогда для каждого а из а в-у следует as-б. Смысл этого результата состоит, очевидно, в том, что соотношение

-У ->

(45:13) выражает в некотором смысле подчиненность дележа б дележу уу несмотря на нетранзитивность отношения доминирования. Однако эта подчиненность не столь полна, как этого можно было бы ожидать. Так,

из соотношения 6 £- (3 нельзя сделать представляющийся правдоподобным

вывод о том, что у £- р, потому что из эффективности множества S для б

->

может и не следовать его эффективность для 7. (Читатель должен вспомнить основные определения п. 30.1.1.)

Нужно также заметить, что утверждение (45:J) является содержательным только потому, что мы обобщили понятие дележа. Для наших

старых определений (см. п. 42.4.1) мы должны были бы иметь =

i=l i=l

следовательно, из угЬг для всех i = 1, . . ., п должно было быть

-у ->

уг = 8j при всех i = 1, . . ., п, т. е. 7 = б.

45.5.2. Приведем теперь леммы, непосредственно осуществляющие требуемое доказательство теоремы (45:1).

->->-> ->

(45:К) Если а е- р, где a - исключенный дележ, a £ F (е0),

->->-> а р £ Е (е0), то существует дележ а, для которого а £- р, причем

а - исключенный дележ и а 6 Е (е0).

Доказательство. Пусть S - множество, участвующее в условиях (30:4:а) - (30:4:с) из п. 30.1.1 применительно к отношению

-У -У

доминирования a е- р. Из равенства S = I следовало бы, что для всех i = 1, . . ., п аг > рь так что

Sa,-v(/)>S pi-v(I).