Но так как а £ F (е0), a р f£ (е0), должно быть 2а* - v (-0 = ео =

- 2Рг ~ v 00 что противоречит предыдущему неравенству.

Следовательно, S Ф I. Выберем поэтому некоторое i0 = 1, . . ., п, не принадлежащее S. Положим ее = {av . . ., ап}, где

а\ = аг- для г =5= t0

a 80 выбрано так, что ]а[ - v (/) = е0- Тогда для всех г будет

а\ аг-; следовательно, дележ а является исключенным и, очевидно, принадлежит Е (е0). Кроме того, так как ai = at для i Ф i0, а значит,

и для всех i £ S, то а е- Р влечет а е- р.

(45:L) Каждое решение W для F (е0) имеет вид (45:12) из теоремы

(45:1) для единственного множества V Е (е0) *).

Доказательство. Очевидно, рассматриваемое множество V, если оно вообще существует, есть пересечение MV [] Е (е0), так что оно единственно. Для того чтобы соотношение (45:12) выполнялось для

Y = Wr)E(e0)4

нам необходимо только, чтобы остаток W был равен D*(e0), т. е. чтобы (45:14) W-E(e0) = D*(e0).

Докажем поэтому равенство (45:14).

Каждый элемент множества D* (е0) является исключенным и принадлежит F (е0), так что ввиду (45: G) он принадлежит W. Кроме того, он не принадлежит Е (е0), так что он принадлежит W - Е (е0). Таким образом,

(45:15) W-£WI)*W.

Если, кроме того, (45:16) W-E(e0)<=D*(e0),

то (45:15) и (45:16) вместе дадут нам (45:14), что и требуется. Предположим поэтому, что включение (45:16) неверно. В соответствии с этим предположением мы рассмотрим дележ

а = {(*!, . . ., ап}, принадлежащий W - Е (е0) и не принадлежащий

D* (е0). Тогда а принадлежит F (е0), но не принадлежит Е (е0), так что

- v (/) < е0. Так как дележ а не принадлежит D* (е0), он не может

быть исключенным. Поэтому существует такое непустое множество S, что 2<*г < v (S).

i£S

*) Мы еще не утверждаем, что это множество V есть решение для Е (е0),- это будет установлено в (45:М).

Положим теперь а = {а, . . ., ап}, где

а1 = аг-{-г для i, принадлежащих S, al = аг для г, не принадлежащих S, а 8>0 выбрано так, что все еще

2сц-у(/)е0 и Saiv(5).

г=1 i£S

Такой дележ а принадлежит F (е0). Если он не принадлежит W,

то (так как W есть решение для F (е0)) существует такой дележ Р £ W,

-> ->

что Р е- а. Так как для всех i оца*, отсюда следует ввиду (45:J), что

р е- а. Но это невозможно, так как и р, и а принадлежат решению W.

Следовательно, дележ а должен принадлежать W. Но для всех i £ S а[ >

>06jH 2aiv()- Поэтому а е- а. Но это отношение противоречит тому,

что оба дележа, а и а, принадлежат решению W.

(45:М) Множество V из леммы (45:L) есть решение для Е (е0).

Доказательство. Очевидно, что V Е (е0) и V удовлетворяет условию (44:Е:а) из п. 44.7.3 вместе с W (которое является решением для F (е0)), так как V W. Таким образом, нам необходимо только проверить свойство (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.

Рассмотрим дележ р £ Е (е0), не принадлежащий V. Тогда Р принадлежит и F (е0), но не принадлежит W; следовательно, существует такой ->->-> ->

дележ а £ W, что а е- р (W есть решение для F (е0)). Если этот дележ а

->

принадлежит Е (е0), то он принадлежит W [}Е (е0) = V, т. е. а должно

принадлежать Е (е0), причем а е- р.

Если же дележ а не принадлежит Е (е0), то он принадлежит W - Е (е0) = Z)* (е0) и, следовательно, является исключенным. Таким

образом, ос е- р, дележ а - исключенный и принадлежащий F (е0). Сле-довательно, ввиду (45:К) существует такой исключенный дележ а, принадлежащий Е (во), что а е- р. Ввиду (45:G) этот дележ а принадлежит W (так как Е (е0) <=- F (е0), a W есть решение для Е (е0)\); следовательно,

он принадлежит Wfl (о) = V. Таким образом, мы получаем, что -> -> ->

а £ Е (е0), причем а е- р.

Итак, условие (44:Е:Ь) из п. 44.7.3 выполнено в любом случае.

(45:N) Если V есть решение для Е (е0), то W, определенное соот-

ношением (45:12) теоремы (45:1), есть решение для F (е0).

Доказательство. Очевидночто W F (е0), так что мы должны доказать свойства (44:Е:а) и (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.

Свойство (44:Е:а). Предположим, что для двух дележей а и р из W

имеет место а е- р. Ввиду отношения а е- р и свойства (45:D) невозможно,

чтобы дележ Р был исключенным. Поэтому р не содержится в D* (е0)

и, следовательно, (3 принадлежит множеству

W-Z>*(e0) = V.

-> ->

Следовательно, отношение осе~Р исключает возможность того, чтобы дележ -> ->

а также принадлежал решению V. Значит, а принадлежит множеству

W - Y = D* (е0).

->

Следовательно, а - исключенный дележ.

Далее, согласно (45:К) существует такой исключенный дележ

а £ Е (е0), что а е- р. Так как а - исключенный дележ, по теореме

(45:G) а принадлежит (решению для Е (е0)) V. Итак, оба дележа а и р

-> ->

принадлежат (решению) V и а е- Р; но эти утверждения противоречат друг другу.

Свойство (44:Е:Ь). Рассмотрим дележ р = (рА, . . ., рд}, принадлежащий F (е0), но не принадлежащий W. Для каждого 80 образуем

теперь дележ р (е) = {рА (е), . . рп (е)} = {рА + е, . . ., р + е}. Пусть 8 возрастает от нуля до тех пор, пока не осуществится впервые одно из следующих условий:

(45:17) Дележ P(s) принадлежит Е(е0)г),

(45:18) Дележ р(е) является исключенным2).

Мы различаем эти две возможности.

Условие (45:17) осуществляется впервые, скажем, при 8 =

->

= 8А 0 : р (8i) £ Е (е0), но этот дележ не явлется исключенным.

Если 8i = 0, то Р = р (0) g Е (е0). Так как р не принадлежит V 9= W, существует дележ а е- р, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Тем более а принадлежит W.

-у ->

Предположим теперь, что е4 > 0 и р (еА) £ V. Так как дележ р (е4) не является исключенным, существует такое непустое множество S I,

что (8i) < v Кроме того, всегда Р (е4) > Р*. Поэтому (5 (84) е- р,

и р (е4) £ V; значит, тем более Р (еА) £ W.

Предположим, наконец, что 6j>0 и р (еА) не принадлежит V. Так как Р (еА) £ Е (е0), существует дележ а е- р (е, принадлежащий (решению для Е (е0)) V. Так как всегда Р* (е4) > Р*, из а е- р (еА) следует

-> -> -> ->

ввиду (45: j), что а е- р. Кроме того, а £ V, а значит, тем более а £ W.

Условие (45:18) осуществляется раньше или одновременно с условием

->

(45:17), скажем, при е = е2>0. Тогда все еще р (е2) 6 F (*<>) и этот дележ является исключенным.

1) То есть эксцесс Р (е) равен е0. Действительно, р (0) = р принадлежит F (е0), т. е. его эксцесс не больше, чем е0, и эксцесс р (е) возрастает с е.

2) То есть Рг (£) = v (£) Для всех S i. Каждая сумма Рг (е) возрастает с е.

ies ies