Если Р (е2) 6 Е (е0), то согласно (45:G) дележ Р (е2) принадлежит

-> ->

(решению для Е (е0)) V. Если р (е2) не принадлежит Е (е0), то Р (е2) £

->

£Z)* (е0)- Таким образом, в любом случае р (е2) £ W.

-> ~>

Это исключает возможность е2 = 0, так как дележ Р = Р (0) не принадлежит W. Поэтому е2 > 0.

Для 0 < 8 < е2 дележ р (е) не является исключенным, так что существует непустое множество S I, для которого 2 Pz (е) < v (£) Следова-

тельно, по непрерывности, существует непустое множество S I, для которого 2Pf (8г) v (£) Кроме того, всегда pf (е2) > Р* и, значит,

-у -> ->

Р (е2) е- р, а также р (е2) £ W.

Итак, в любом случае в W существует дележ а е- р. (Этим дележом а оказывались в различных случаях, соответственно, дележи а, р (ei),

-У -У

а, Р (е2).) Таким образом, условие (44:Е:Ь) выполнено.

Теперь мы можем дать обещанное доказательство.

Доказательство теоремы (45:1) получается немедленно путем сопоставления утверждений (45:L), (45:М), (45:N).

45.6. Подведение итогов и заключение

45.6.1. Наши основные результаты, полученные до сих пор, можно сформулировать следующим образом:

(45:0) Если

(45:0:а) е0<-\Т\±,

то множества Е(е0), F (е0) пусты и их единственным решением является пустое множество. Если

(45:0:Ь) -1 Г 4 е0 Г 2,

то множества Е(е0), F (е0) непусты, имеют оба одни и те же решения и все эти решения являются непустыми множествами. Если

(45:0:с) е0>Г2,

то множества Е(е0), F (е0) непусты, не имеют общих решений и все их решения являются непустыми множествами.

Доказательство получается сразу путем сопоставления (45:А), (45:1) и (45:Н).

Этот результат вполне проясняет критический характер значений е0 = - Г 1, Г 2 и еще больше подкрепляет точку зрения на них, выраженную в конце п. 45.1, а также после теоремы (45:Н) из п. 45.4.2: что происходит, когда е0 становится слишком малым или слишком большим в смысле п. 44.6.1.

45.6.2. Мы можем теперь доказать также некоторые соотношения, которые в дальнейшем (в п. 46:5) окалчутся полезными.

(45:Р) Пусть W - непустое решение для F (е0), т. е. предположим что е0 i> - Г !. Тогда

(45: Р: a) max е (а) = е0.

(45:P:b) min е (а) = min (е0, \ Г 2)г).

Кроме того,

(45:Р:с) maxe (a)--mine (a) = max(0, е0 - Г2)2).

a£W a£W

Доказательство. (45:Р:с) следует из (45:Р:а) и (45:Р:Ь), так как е0 - min (е0, Г 2) = max (е0 - е0, е0 - Г 2) = max (0, е0 - \ Г 2).

Докажем теперь (45:Р:а) и (45:Р:Ь).

Из (45:1) следует, что W = Y[jD * (во), где V - решение

для Е (е0). Так как е0 - [ Г 14, V непусто (согласно (45 :А) или (45:0)).

->

Как мы знаем, е (а) = £0 Для а 6 V и е (а) <С е0 для а £ D * (е0).

Далее, для е0 Г 2 i?* (е0) пусто (согласно (45:Н)), так что

-* ->

(45:19) max е (а) ~ max е (а) = е0,

oGW aev

45:20) min е (а) = min е (а) = е0.

Для е0 > Г 2 -D * (е0) непусто (снова согласно (45:Н)) и представляет собой множество всех исключенных дележей а, для которых е (а) << Последовательно, согласно (45:В:Ь) из п. 45.2.3, эти е (а) имеют минимум, равный Г2. Итак, в этом случае мы имеем:

-> ->

(45:19*) max е (а) = max е (а) = e0l

a£W a£V

(45:20*) mine(a) = min е(о)==Г2.

aeW e-D*(eo)

Равенства (45:19) и (45:19 *) вместе дают (45:Р:а), а равенства (45:20) и (45:20 *) вместе дают (45:Р:Ь).

*) Наше утверждение включает требование о том, что эти максимум и минимум существуют.

2) Словесно: максимальный эксцесс в решении W равен максимальному эксцессу, возможному в F (е0), т. е. е0. Минимальный эксцесс в решении W снова равен е0, если только е0 Г 2; если же е0 > Г 2, то в этом случае он равен только Г 2. Иначе говоря, минимум есть число, возможно более близкое к е0, при условии, что он никогда не должен превышать Г 2.

Ширина интервала эксцессов равна превышению е0 над Г \ 2, если таковое имеется.

г) До сих пор не было необходимости выражать явно зависимость от а эксцесса е дележа а. Теперь мы делаем это для е, а также для / и g.

§ 46. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ В РАЗЛОЖИМОЙ ИГРЕ 46.1. Элементарные свойства разложений

46.1.1. Вернемся теперь к разложению игры Г. Пусть игра Г разложима относительно множеств / и К = I -- J, причем А и Я являются ее -компонентами.

Пусть дан любой обобщенный дележ а = {аи . . ., ап} для I; обращу ->

-зуем его J-, .йГ-компоненты 3, 7 = at для / и yt = at для i £ К) и их эксцессы:

эксцесс а в /: е=е (а)= 2j ai~~У(Л

(46:1) -{ эксцесс Р в /: / = / (а) = 2 ai - v()

эксцесс 7 в К: g = g(a) = 2± а*- v(iT)х).

Так как (согласно (42.6.Ь) из п. 42.3.2 или же, равным образом, {41.6) из п. 41.3.2 при S = J и Т = К)

(46:2) v(/) + v(£) = v(7),

должно быть

(46:3) e = f + g. (46: А) Имеем

(46:А:а) Г 4 = А 4 +1 Н 4,

(46:А:Ь) Га = Да + Н[а.

(46:А:с) Игра Г несущественна тогда и только тогда, когда несущественны обе игры А и Н.

Доказательство. Утверждение (46:А:а). Применим последовательно к играм Г, А, Н определение (45:2) из п. 45.1:

(46:4) ri = v(7)-Sv((0),

(46:5) At = v(/)-Sv((0),

(46:6) H, = v(A:)-Sv((0).

Ввиду (46:2) сравнение (46:4) с суммой (46:5) и (46:6) дает (46:А:а).

-> -v -У

Утверждение (46:А:Ь). Пусть дележи а, 3, 7 определены как и выше

{перед (46:1)). Тогда дележ а является исключенным (в /), если для всех В. я= I

2ау(Д).