Вспоминая (41.6) из п. 41.3.2, мы можем написать для этого дележа

(46:7) 2 сс; + 2 a,iv(S) + v(T) для всех £ = Т<=К. ies ieT -> ->

Снова дележи (3 и 7 являются исключенными (соответственно в / и К)у если

(46:8) Saiv(iS) для всех о с= /,

(46:9) 2 аv (г) Для всех г

Но (46:7) эквивалентно (46:8), (46:9). Действительно, (46:7) получается сложением (46:8), (46:9), в то же время (46:7) при Т=0 сводится к (46:8), а при S = 0- к (46:9).

Таким образом, дележ а является исключенным тогда и только тогда,

когда его (/-, К-) компоненты р и 7 являются исключенными. Так как их эксцессы е и /, g связаны соотношением (46:3), для их минимумов это дает соотношение (см. (45:В:Ь))

Г2 = А2 + Нав

т. е. формулу (46:А:Ь).

Утверждение (46:А:с) получается сразу сочетанием (46:А:а) или (46:А:Ь) с (45:Е) в применении к Г, А, Н.

Обе величины Гь Г 2 являются количественными мерами существенности игры Г в смысле п. 45.3.1. Полученный выше результат утверждает, что обе эти величины аддитивны относительно композиции игр.

46.1.2. Другая лемма, которая будет полезна в наших дальнейших исследованиях, состоит в следующем:

(46:В) Если аЕ-р (в Г), то множество S из п. 30.1.1 в этом отно-

шении доминирования можно без потери общностих) выбрать так, что будут выполнены включения или SJ, или S gZ.

Доказательство. Рассмотрим указанное в п. 30.1.1 мно-

-> ->-

жество S для отношения доминирования а е- р. Если случайно окажется, что S s J или S К, то доказывать нечего, поэтому мы можем предположить, что не выполнено ни одно из включений S е /, S К. Следовательно, S = д54и Ти где St J, Ti К и ни S±, ни Т± не пусто.

Для всех i 6 S, т. е. для всех i £ S± и для всех i £ Т±, мы имеем at > рг-. Наконец,

2v(£).

Левая часть этого неравенства, очевидно, равна 2 а*+ 2 ot, а его пра-

iesi teTi

вая часть ввиду (41:6) из п. 41.3.2 равна v(5,1) + v(2,i). Таким образом,

2 ajvO.+ vi).

iesi iei

Следовательно, должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств

2 atv(Si), 2 oay(Ti). iesi ieTi

*) To есть это дополнительное ограничение на S не меняет (в этом случае!) понятия доминирования.

Таким образом, из трех условий доминирования п. 30.1.1 (для а е- р) условия (30:4:а) и (30:4:с) выполнены как для Siy так и для Г*, а условие (30:4:Ь) выполнено хотя бы для одного из этих множеств. Поэтому исходное множество S мы можем заменить либо на Si ( /), либо на Tt (е К).

Это завершает доказательство.

46.2. Разложение и его связь с решениями. Первоначальные результаты относительно F (е0)

46.2.1. Теперь мы направим наши исследования на главную цель этой части теории - нахождение всех решений Uj разложимой игры Г. Эта цель будет достигнута в п. 46.6 как заключительный результат последовательности из семи лемм.

Мы начнем с некоторых чисто описательных рассуждений.

Рассмотрим решение Uj игры Г для множества F (е0). Если U/ пусто, то сказать больше нечего. Предположим поэтому, что Uj непусто; ввиду (45:А) (или, что то же самое, ввиду (45:0)) это предположение эквивалентно неравенству

о I г и--1A и - Н 4.

Используя обозначения (46:1) из п. 46.1.1, образуем величины:

{46:10) <

Замечание. Тот факт, что все эти величины могут быть образованы, т. е. то, что рассматриваемые максимумы и минимумы существуют и достигаются, можно установить простым рассуждением, основанным на свойствах непрерывности.

Действительно, как / (а) = 2а* - v ( О так и 8 (а) - 2а* ~~ v являются

непрерывными функциями дележа а, т. е. его компонент а4, . . ., ал. Поэтому существование их максимумов и минимумов есть хорошо известное следствие свойств непрерывности области изменения а - множества Uj.

Для читателя, который знаком с необходимой математической теорией - топологией, мы приведем точное утверждение и его доказательство. (Лежащие в основе математические факты рассматриваются, например, Каратеодори (см. сноску 1 на стр. 356; см. там стр. 136-140, особенно теорему 5.)

Uj есть множество в /г-мерном линейном пространстве Ln (см. п. 30.1.1). Для того чтобы быть уверенными, что каждая непрерывная функция имеет в Uj максимум и минимум, мы должны знать, что множество Uj ограничено и замкнуто.

Докажем теперь следующее: (*) Любое решение U для F (е0) [Е (е0)] в игре Г п лиц является ограниченным и замкнутым множеством в Ьп.

Доказательство. Ограниченность. Если дележ а = {а4, . . ., ап} при-

надлежит U, то для каждого i должно быть aj v ((i)) и ai ~ v СО = *о а

шах / (а) - ф,

->

min / (а) = ф,

maxg(a) гр, аеих

min g (а) = г?.

следовательно, ctj v (/) -f- е0- oij v (i) + е0 - v ((*)) Таким образом, каждое

Зфг Зфг

at принадлежит фиксированному интервалу

v(/) + e0-2 v ((/)),

~>

и, следовательно, эти дележи а образуют ограниченное множество.

Замкнутость U эквивалентна тому, что дополнение U является открытым множеством. Ввиду (30:5:с) из п. 30.1.1 дополнение U есть множество всех дележей р..

->

которые доминируются каким-нибудь а £ U. (Заметим, что здесь мы пользуемся темг что U есть решение игры!)

Для любого а через обозначим множество всех р -За. Тогда дополнение U а

->

есть объединение всех для а £ U.

Так как объединение любого (даже бесконечного) числа открытых множеств открыто, достаточно доказать, что открытым является каждое множество Z) y. Иначе

~> -> ->

говоря, надо доказать следующее: если р -3 а, то для каждого дележа Р, достаточно

близкого к р,мы также имеем Р -з а. В определении отношения доминирования р -з сс

->

соотношениями (30:4:а) - (30:4:с) в п. 30.1.1 дележ Р входит только в условие (30:4:с). Но при достаточно малых изменениях Рг справедливость (30:4:с), очевидно, не нарушается, так как (30:4:с) есть соотношение строгого неравенства. ->

(Заметим, что к а то же самое рассуждение неприменимо, потому что а входит также в соотношение (30:4:Ь), которое при произвольно малых изменениях могло бы нарушиться, так как (30:4:Ь) есть соотношение типа не больше . Но нам это свойство

необходимо для р, а не для а!)

Если даны два дележа а = {а1? . . ., ап] и (3 = {рь . . . , $п}г то существует единственный дележ у = {уь . . . , уп}, который имеет ту же /-компоненту, что и а, и ту же -компоненту, что и [3:

yt = at для i £ /,

(46:11)

yi = $i для i£K. 46.2.2. Докажем теперь, что

(46:С) Если дележи а и 3 принадлежат Uj, то дележ у, определенный

равенством (46:11), принадлежит U7 тогда и только тогда, когда

(46:С:а) f(d) + g$)eQ.

Кроме того,

(46:C:b) *(?)=/( )+*$

Доказательство. Формула (46:С:Ь). Согласно (46:3) из

п. 46.1.1, е{у) = / (у) + g (у); ясно также, что / (у) = / (a), g (у) == g (р).

Необходимость (46:С:а). Так как Ur F (е0), необходимо е (у) е0г а ввиду (46:С:Ь) это условие совпадает с (46:С:а).

Достаточность (46:С:а). Очевидно у, так же как аир, есть обобщенный

дележ, и (46:C:a), (46:С:Ь) гарантируют, что у принадлежит F (е0) г).