Предположим теперь, что у не принадлежит Uj. Тогда в Uj сущест-

вует б е- у. Согласно лемме (46:В) множество S из п. 30.1.1 для этого отношения доминирования можно выбрать так, что будет справедливо включение S / или S <z К. Теперь очевидно, что из 8 е- у следует, что если

-> -> -> -> ->->->

£ /, то 8 е- а, а если S Z, то 8 е- р. Так как 8, а, 3 принадлежат Uj, обе эти альтернативы невозможны.

Следовательно, дележ у должен принадлежать Uj, что и. утверждалось.

Мы переформулируем (46:С) в следующей, очевидно, эквивалентной форме:

(46:D) Пусть V/ - множество всех /-компонент, a WK - множество всех /-компонент решения Uj. Тогда Uj составляется из этих множеств Yj м WK следующим образом:

-У -У

Uj есть множество всех таких дележей у, /-компонента а!

которых принадлежит Vj, а if-компонента (У принадлежит WK и (46:12) e(a) + e$)e0i).

46.3. Продолжение

46.3. Вспоминая определение (44:В) разложимости Uj (относительно /, К) из п. 44.3.1, нетрудно видеть, что оно эквивалентно следующему.

Uj получается из Yj, WK из (46:D) по описанным там правилам, но f без условия (46:12).

Таким образом, условие (46:12) можно интерпретировать следующим образом: оно выражает, в какой именно мере Uj не является разложимым. Этот факт представляет некоторый интерес в свете того, что было сказано в п. 44.3.3 относительно утверждения (44:D:a).

Можно даже сделать один шаг дальше. Легко установить необходимость условия (46:12) в (46:D). (Это соответствует (46:С:а), т. е. первым двум очень простым шагам в доказательстве (46:С).) Следовательно, (46:D) выражает тот факт, что Uj не дальше от разложимости, чем это неизбежно.

Все это, вместе с утверждением (44:D:b) из п. 44.3.3, делает весьма правдоподобным предположение о том, что Yj и WK должны быть решениями игр А и Н. Однако, учитывая обобщенность всех понятий, которые мы теперь используем, необходимо решить, какие множества следует взять в качестве F (/0) и F (go), причем /0 - эксцесс, который мы предполагаем использовать в /, a g0 - избыток в К 2). Окажется, что этими эксцессами

являются величины ф, я) п. 46.2.1.

*) Заметим, что эти дележи а и р не совпадают с дележами аир леммы (46:С);

-> -у -у

они являются К- компонентами последних, а также дележа у. Числа е (а) и е (р)

-у ->

являются эксцессами дележей а, р, образованных в / и К. Но эти эксцессы равны,

соответственно, / (a), g (р), а также равны / (у), g (у)- (Все эти обозначения связаны с (46:С).)

2) Читатель заметит, что этот вопрос в некотором смысле аналогичен вопросу о распределении данного эксцесса е0 в I между J и К,

Действительно, мы можем доказать следующее: (46 :Е)

(46:Е:а) V/ есть решение игры Д для (ф),

(46:E:b) WK есть решение игры Н для F(ty).

Однако удобнее получить сначала другой результат: (46:F)

(46:F:a) 4> + ty = e0,

(46:F:b) Ф + =в0.

Заметим, что в утверждении (46:Е), как и в (46:F), части (а) и (Ь) получаются друг из друга взаимной заменой, соответственно, /, А, ф, ф на К, Я, я), г). Следовательно, в каждом случае достаточно доказать только одну из частей (а) или (Ь); мы выбираем часть (а).

Доказательство. (46:F:a). Выберем такой дележ а £ Ujf для которого / (а) достигает своего максимума ф. Так как необходимо е (a) е0 и так как по определению g (а) г), (46:3) п. 46.1.1 дает

(46:13) Ф + $е0.

Предположим теперь, что равенство (46:F:a) неверно. Тогда из (46:13) следовало бы, что

(46:14) Ф + $<е0.

-> -> -

Используем выбранный выше дележ а £ Uj, для которого / (а) - ф,

а также выберем 3 £ Uj, для которого g (3) достигает своего минимума я).

Тогда /(а) + g $) =ф е0 (ввиду (46:13) или (46:14)). Таким

образом, дележ 7 из утверждения (46:С) также принадлежит Uj. Снова (46:С) и (46:14) вместе дают

e(y)=f(a) + g$) = v + y<e0,

т. е. 2y*<v (Л +о- Положим теперь

-►

б = (6lt . .., 8п} = {yi + е, ..., уп + е},

выбирая 8 > 0 так, чтобы 2 $t = v СО + *о- Таким образом, б принад-

лежит F (е0).

Если бы дележ б не принадлежал Uj, то в Uj существовал бы дележ т\ е- б. Ввиду (45:J) т] е- 7, что невозможно, так как и т], и 7 принадлежат Uj. Следовательно, б принадлежит Uj. Тогда

2 Si-v(/)>2Yi-v(/)=2ai-v(/))

г£/ i£J

т. е.

/(6)>/(o) = i,

что противоречит определению ф.

Следовательно, должно быть выполнено равенство (46:F:a) и доказательство закончено.

-> -у

Доказательство (46:Е:а). Если а £ VJ? то а является /-компонентой некоторого дележа а 6 Uj. Следовательно, (см. сноску 1 на стр. 399) е (а) = f (a) ф, так что а принадлежит F (ф). Таким образом, Vj (ф).

Итак, нашей задачей является доказательство свойств (44:Е:а) и (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.

Свойство (44:Е:а). Предположим, что для двух дележей а и р из Yj выполнено отношение а е- р. Тогда а, У являются, соответственно, /-компонентами некоторых дележей у и б из Uj. Но, очевидно, из а е- р еле-

-> ->

дует, что а е- б, а это невозможно.

-у -

Свойство (44:Е:Ь). Рассмотрим дележ а £ F (ф), не принадлежащий

V/. Тогда по определению е (a) r=g ф. Как и в доказательстве (46:F:a),

выберем дележ р 6 Uj, для которого g (Р) = if). Пусть р - -компонента

этого дележа р, так что р £ WK и е (р) = g (р) = Таким образом

е (а) + е (р)< ф + = (согласно (46:F:a)) Составим дележ у

(для /), который своими /-, /-компонентами имеет, соответственно, а

и р. Тогда е (у) = е (а) + в (p)fge0, т. е. у принадлежит F (е0). у не принадлежит Uj, потому что его /-компонента а не принадлежит Vj.

Следовательно, в (решении для F (е0)) Uj существует б е- у.

Пусть S - множество п. 30.1.1, относительно которого осуществляется доминирование б е-у. Согласно (46:В) мы можем предположить, что

5 <=: / или S <= К.

Предположим сначала, что S К. Так как у имеет ту же самую К-компоненту р, что и р, из отношения б е- у мы можем заключить, что

6 е- р. Но так как и б, и р принадлежат Uj, это невозможно.

-у -у

Следовательно, S /. Обозначим через 8, /-компоненту 6; так как б принадлежит Uj, б принадлежит V/. /-компонентой у является а. Следовательно, из отношения б е- у мы можем заключить, что б е- а.

-у -у

Таким образом, мы нашли в V/ требуемый дележ б е- а.

46.4. Продолжение

46.4.1. Утверждения (46:D) и (46:Е) выражают общее решение Uj игры Г через соответствующие решения Yj и WK игр А и Н.

Естественно поэтому попытаться обратить этот процесс, т. е. начать с Vj и WK и получить Uj.