(46:15)

Нужно помнить, однако, что множества Vj, WK из (46:D) не являются совершенно произвольными. Если мы снова рассмотрим определения (46:10) из п. 46.2.1, учитывая (46:D), то мы увидим, что их можно сформулировать также и следующим образом:

->

шах е(а) =--ф,

min е (а) = ф,

-> - max ёф) = г),

mii\e ф) = гр.

Но (46:F) выражает зависимость между этими величинами ф, ф, гр, гр, которые определяются множествами Yj, WK и эксцессом е0.

46.4.2. Мы покажем, что эта зависимость является единственным ограничением, которое нужно наложить на Yj и Wx. Для этого мы начнем с двух произвольных непустых решений Yj и Wx соответственно игр А и Н (причем эти решения не обязательно должны быть получены из какого-либо решения U7 игры Г) и установим справедливость (46:G): (46:G) Пусть Yj - непустое решение игры А для F (ф), a WK - непустое решение игры Н для F (гр). Предположим, что ф и удовлетворяют приведенным выше условиям (46:15) и, кроме того, вместе с ф и гр из (46:15) удовлетворяют соотношениям

(46:16) ф + гр = ф + е0.

Для любых a £Vj и 3g W, для которых

(46:17) е(а) + еф)е0,

образуем дележ у (для /), который имеет а и 3 своими /- и К-

компонентами. Обозначим множество всех этих дележей у через U7. Множества U7, которые получаются таким способом, составляют в точности все решения игры Г для F (е0).

Доказательство. Все описанные множества Uj получаются следующим образом. Применим к множеству Uj (46:D); в результате мы получим соответствующие ему множества Yj и WK. Тогда все наши утверждения содержатся в (46:D) и (46:Е), (46:F), к которым присоединены равенства (46:15).

Все множества Uj, полученные таким способом, обладают требуемым свойством. Рассмотрим некоторое Uj, построенное с помощью Yj и WK, как это описывалось выше. Нам нужно доказать, что это множество JJj является решением игры Г для F (е0).

Для каждого у £ Uj неравенство (46:17) дает е(у) = е (а) + е ((3)

rg е0, так что у принадлежит F (е0). Таким образом, Uj F (е0).

Итак, наша задача состоит в доказательстве утверждений (44:Е:а), (44:Е:Ь) из п. 44.7.3.

Утверждение (44:Е:а). Предположим, что для двух дележей rj, 7 £ U/ имеет место отношение т] е- у. Пусть а и р - соответственно /- и iT-ком-поненты 7, a б и е - соответственно /-иif-компонентыг], из которых 7и т] получаются описанным выше способом. Пусть S - множество п. 30.1.1,

по которому происходит доминирование т] е- 7. Ввиду (46:В) мы можем

-> ->

предполагать, что либо S /, либо S К. Но если S /, то из г) е- 7 следовало бы, что б е- а, а это невозможно, так как и б и а принадлежат Vj; а если S К, то из т] е- 7 следовало бы, что е е- р, что также невозможно, так как и е и Р принадлежат \¥я.

Утверждение (44:Е:Ь). Предположим противное, а именно, что в F (е0)

существует такой дележ 7, не принадлежащий Uj, что в Uj не существует т), для которого т] е- 7. Пусть а и р соответственно /- и if-компоненты 7.

Предположим сначала, что е (a) rg ср. Тогда а принадлежит (ф). Следовательно, либо а принадлежит Vj, либо существует такой дележ б б Vj, что б е- а. В последнем случае в WK выберем такой дележ ег для которого е (е) достигает своего минимального значения гз. Составим дележ т), у которого /- и iT-компонентами являются соответственно 8 и е. Так как б и е принадлежат соответственно Vj и WK и так как е (б) + + е (в) ф + if> = £(ъ дележ т] должен принадлежать Uj. Кроме того, так как б е- а, а б и а являются соответственно /-компонентами ц и 7, должно быть т] е- 7* Таким образом, существование т] противоречит нашему первоначальному предположению относительно 7. Следовательно,

мы доказали, что в рассматриваемом случае дележ а должен принадлежать Vj.

Другими словами:

-> ->

(46:18) Либо а принадлежит Vj, либо е(а)>ф.

Заметим, что в первом случае необходимо е(а)ф, а во втором

случае, конечно е (а) > ф ф. Следовательно,

(46:19) В любом случае е(а);>ф.

Перемена ролей J ж К дает возможность из (46:18) и (46:19) получить следующие утверждения:

->

(46:20) Либо Р принадлежит WK, либо е(р)>ф.

(46:21) В любом случае e(P)i).

Если теперь мы имеем вторую альтернативу (46:18), то вместе с

(46.21) это дает е (7) = е (а) + е (Р) > ф+ я) = е0, что невозможно, так

как 7 принадлежит F (е0). Точно так же невозможна вторая альтер-натива (46:20).

Таким образом, как в (46:18), так и в (46:20) имеют место первые альтернативы, т. е. дележи а и р принадлежат соответственно YtT и WK. Так как у принадлежит F (е0),

е(а) + еф) = е(у)е0. ->

Следовательно, дележ у должен принадлежать Uj, что противоречит нашему первоначальному предположению.

46.5. Окончательный результат для F (е0)

46.5.1. Результат (46:G), несмотря на свою полноту, неудовлетворителен в следующем отношении: условия (46:16) и (46:17), на которых он основан, являются неявными. Заменим их поэтому эквивалентными, но более прозрачными условиями.

Для этого мы начнем с чисел ф и яр, которые мы будем предполагать заданными. Какие решения Yj и WK игр А и Н для F (ф) и F (яр) можем мы тогда использовать в смысле (46:G)?

Прежде всего, множества Vj и WK должны быть непустыми; применение к играм А и Н (вместо Г) утверждений (45:А) или (45:0) показывает, что это условие означает

(46:22) Ф-IAIi, -IHJi.

Рассмотрим теперь равенства (46:15). Применим к А и Н (вместо Г) утверждение (45:Р) из п. 45.6.1. Тогда (45:Р:а) гарантирует удовлетворение двух уравнений (46:15), содержащих максимизацию, а (45:Р:Ь) преобразует два уравнения (46:15), содержащих минимизацию, в уравнения

(46:23) ф = тт(ф, А2), яр = min (яр, Н2).

Определим поэтому ф, яр уравнениями (46:23). Преобразуем теперь условие (46:16):

(46:16) Ф + яр - ф-}-яр = б?0.

Первое уравнение (46:16) можно записать также в виде ф -ф = яр - яр, т. е., согласно (46:23), в виде

(46:24) max (0, <р - А 2) = max (0, яр - Н 2) *).

46.5.2. Теперь возможны два случая.

Случай (а). Обе части равенства (46:24) равны нулю. Тогда в каждой части равенства (46:24) под знаком максимума нулевой член не меньше другого члена, т. е. ф - А20, яр - Н20 или

(46:25) ФА2, ярН2.

Обратно, если выполнены неравенства (46:25), то равенство (46:24) превращается в равенство 0 = 0, т. е. оно выполнено автоматически. Теперь определение (46:23) принимает вид

(46:26) ф = ф> яр = яр,