Мы рассматриваем решения Г как для множества Е, так и для множества F (а не только для множества F, как в (46:Н)) и используем решения игр А и Н только для множества Е (а не для F, как в (46:Н)). Способ, с помощью которого решения Uj и Uj игры Г образуются соответственно из решений Vj игры А и WK игры Н, соответственным образом отличается от способа, описанного в (46:Н).

Для того чтобы устранить эти различия, нужно поступить следующим образом: применим к играм Г, А и Н (45:1) и (45:0:с), что возможно ввиду (1), (2) и (3) утверждения (46:1:с). Затем подставим в (46:Н) определяющее вместо определяемого. Если произвести эти действия над (46:Н) (в рассматриваемом случае (46:Г.с)), то получится в точности приведенная выше формулировка х).

46.7. Графическое представление части результатов

46.7. Результаты (46:1) могут показаться сложными, но в действительности они представляют собой лишь точное выражение нескольких, простых качественных принципов. Причина, по которой необходимо было пройти через сложности предыдущего математического вывода, состояла, конечно, в том, что эти принципы не все очевидны, и это был способ их

обнаружить и доказать. С другой стороны, наш результат можно проиллюстрировать простым графическим представлением.

Мы начнем с более формального замечания.

Рассмотрение трех случаев (46:1:а) - (46:1:с) дает возможность обнаружить следующее: в то время как о случае (46:1:а) ничего больше сказать нельзя, два других случая: (46:1 :Ь), (46:1:с) -имеют некоторые общие черты. Действительно, в обоих случаях требуемые решения U/ и U/ игры Г получаются с помощью двух чисел ф игр и некоторых соответствующих решений Vj и Wk игр А и Н. Количественными элементами представления решений Uj и Uj являются числа ф и гр. Как указывалось в сноске 2 на стр. 399, они представляют собой некоторое подобие распределения данного эксцесса е0 в I между J я К.

Числа ф и гр характеризуются в случаях (46:1:Ь) и (46:1:с) соответствующими им условиями (2)-(4). Сравним эти условия в случае (46:1:Ь) и в случае (46:1:с).

Эти условия имеют следующую общую черту: согласно этим условиям эксцессы ф и гр должны подпадать под тот же случай соответственно в играх Д и Н, который выполняется для эксцесса е0 в игре Г.

Однако они весьма существенно отличаются в следующем отношении: в случае (46:1:Ь) ф и гр связаны только одним уравнением, а в случае

г) Если читатель все это проделает, то он увидит, что это преобразование, хотя и несколько громоздко, абсолютно не представляет трудностей.

Рис. 48.

(46:1:с) они связаны двумя уравнениями 1). Конечно, случайно неравенства также могут выродиться в уравнения (см. (46: J) в п. 46.8.3), но общая ситуация является такой, как это описано.

Связи между е0 и <р, яр представлены графически на рис. 48.

На этом рисунке показана плоскость ф, яр и под ней ось е0.

На этой оси точки - Г ±, Г2 отмечают разбиение на три зоны, соответствующие случаям (46:1:а) - (46:Г.с). Область ф, яр, которая соответствует случаю (46:1:Ь), охватывает заштрихованный прямоугольник в плоскости ф, яр, обозначенный через (Ь); область ф, яр, соответствующая случаю (46:1:с), охватывает прямую в плоскости ф, яр, обозначенную через (с). Если дана произвольная точка ф, яр, то движение по штриховой линии приведет к соответствующему этой точке значению е0; так, точки 6, V дают соответственно точки а, а. Если дано произвольное значение е0} то обратное движение укажет все соответствующие этому значению точки ф, яр; так, точке а соответствует весь отрезок, содержащий 6, а точке а соответствует единственная точка Ъ 2).

46.8. Интерпретация: нормальная зона. Наследование различных свойств

46.8.1. Рис. 48 требует дальнейшего рассмотрения, которое приведет к более полному пониманию утверждения (46:1).

Во-первых, неоднократно указывалось (в последний раз в рассмотрении, следующем за утверждением (45:0)), что случаи (46:1:а) и (46:Г.с), т. е. соответственно случаи е0 < -- Г4 и е0 > - Г2, являются случаями слишком малых или слишком больших значений е0 в смысле п. 44.6.1; иначе говоря, случай (46:I:b), - Г4 е0 Г2, является в некотором смысле нормальной зоной. Наш рисунок показывает, что если эксцесс е0 игры Г находится в нормальной зоне, то соответствующие эксцессы ф и яр игр Д и Н также находятся в своих соответствующих нормальных зонах 3). Другими словами:

Нормальное поведение (положение эксцесса) согласно случаю (46:1:Ь) наследуется при переходе от Г к Д и Н.

Во-вторых, в случае (46:1:Ь), т. е. в нормальной зоне, числа ф и яр не определяются полностью эксцессом е0, как мы неоднократно видели раньше. Напротив, в случае (46:1:с) они определяются вполне. Этот факт на рисунке отражен тем, что в первом случае соответствующая область есть прямоугольник (Ь) в плоскости ф, яр, в то время как во втором соответствующая область есть только прямая (с).

Следует заметить, однако, что в двух крайних случаях (46:1:Ь), т. е. при е0 = - Т\и Г2, интервал возможных значений для ф, яр стягивается в точку 4). Таким образом, переход от переменных значений ф и яр случая (46:Г.Ь) к фиксированным значениям случая (46:1:с) является непрерывным.

х) В обоих случаях условия (2) и (3) являются неравенствами. Условие (4) означает одно уравнение в случае (46:1:Ь) и два уравнения в случае (46:1:с).

2) Мы предоставляем читателю простую проверку того факта, что эта геометрическая иллюстрация рис. 48 действительно выражает условия случаев (46:Г.Ь) и (46:Г.с).

3) То есть из - Г ! б?0 Г 2 следует, что - А 11 ф < j А ) 2, - н 11 яр < Н 2, см. (46:1:Ь).

4) Это один из случаев вырождения, упомянутых в конце п. 46.7.

В-третьих, наше первое замечание утверждает, что нормальное поведение (т. е. такое, когда положение эксцесса соответствует случаю (46:1 :Ь)) сохраняется при переходе от Г к А и Н. Замечательно, что, вообще говоря, это свойство наследования не имеет места для нулевого эксцесса, т. е. что из е0 = 01), вообще говоря, не следует, чтофО, = 0, именно, в случае нулевого эксцесса наша новая теория (из п. 44.7) сводится к более старой форме (из п. 42.4.1, которая, как мы знаем, эквивалентна исходной форме п. 30.1.1). Мы подробнее исследуем изменяемость ф и гр в случае е0 -- 0 в последнем (шестом) замечании. Перед этим, однако, мы обратим внимание на связь между новой теорией и ее более старой формой.

В-четвертых, теперь ясно, что необходимо рассматривать новую, более широкую форму теории, даже если сначала мы интересовались лишь исходной формой. Действительно, для того чтобы найти решения разложимой игры Г в первоначальном смысле (для е0 =0), нам нужны решения ее компонент А и Н в более широком, новом смысле (для ф игр), которые могут быть отличны от нуля).

Это придает замечаниям п. 44.6.2 более точный смысл: теперь особенно ясно, сколь необходимым становится переход от старой теории к новой, когда игра (А или Н) рассматривается как неизолированная. Точная формулировка этого замечания будет дана в п. 46.10.

46.8.2. В-пятых, теперь мы можем объяснить окончательные высказывания об утверждениях (44:D) из п. 44.3.2 и (44:D:a), (44:D:b) из п. 44.3.3. (46:1:Ь) показывает, что (44:D) верно в случае (46:1:Ь), если мы отказываемся от старой теории в пользу новой; (46:Г.с) показывает, что (44:D) неверно в случае (46:1:с) даже при таком условии. Таким образом, желание обеспечить справедливость правдоподобного утверждения (44:D) делает обоснованным как переход к новой теории, так и ограничение случаем (46:1:Ь) - нормальным случаем.

Если мы настаиваем на интерпретации (44:D), (44:D:a), (44:D:b) в рамках старой теории, то (44:D), (44:D:a) неверны 2), а условное утверждение (44:D:b) остается истинным3).

46.8.3. В-шестых, мы видели, что из равенства е0 = 0, вообще говоря, не следует, что ф = 0, гр= 0. Что означает это выражение вообще говоря ?

Числа ф и гр подчинены условиям (2) - (4) случая (46:1:Ь). Так как е0 - 0, (4) означает, что гр = -ф, и дает нам возможность выразить оставшиеся условия (2) и (3) только через ф. Эти условия принимают вид

Применим теперь к А и Н утверждение (45:Е). Тогда мы увидим следующее.

Если обе игры А и Н существенны, то нижние границы неравенств (46:35) меньше нуля, а верхние границы больше нуля, так что действительно ф может быть отлично от нуля. Если же одна из игр А или Н несущественна, то из (46:35) следует, что ф = 0 и, следовательно, гр = 0.

2) Конечно, е0 = 0 соответствует нормальному случаю (46:I:b): - Г 14 0

!) Так как мы можем иметь е0 = 0, ф 0, гр 0. Тогда требование разложимости

(46:35)

АфД: