Сформулируем это утверждение в явном виде.

(46:J) Из равенства е0 = 0 следует ср = 0, яр = 0, т. е. (44:D) выпол-

нено даже в смысле старой теории, тогда и только тогда, когда либо А, либо Н несущественна.

46.9. Болваны

46.9.1. Мы можем теперь рассмотреть более узкий тип разложения, описанный в замечании на стр. 353,- добавление к игре болванов .

Рассмотрим игру А с игроками 1, . . ., к г). Расширим ее добавлением к ней совокупности болванов К, т. е. составим композицию игры А и несущественной игры Н с игроками 1 , . . ., Г. Тогда составная игра есть Г.

Применим ко всем этим играм старую теорию. Согласно (31:1) из п. 31.2.1, в несущественной игре Н имеется ровно один дележ - скажем, уК* = {yfi, . . ., у/Я} 2). Согласно (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3, Н

->

имеет единственное решение - одноэлементное множество (у%).

Тогда, согласно (46:J) и (46:1:Ь), общее решение Г получается композицией общего решения А с общим решением Н, а последнее единственно!

Переформулируем сказанное.

Расширим каждый дележ 3j = {V , . . ., $k} в множестве /

->

(т. е. в игре А) до дележа aj в множестве / (т. е. в игре Г), составляя его

композицию с 7к°,т. е., добавляя к нему компоненты yfi, . . ., yfi : ос/ = - (Pi . Рл, 7А . . , 7г}. Тогда этот процесс расширения , т. е. композиция, даст из общего решения игры А общее решение игры Г.

Этот результат коротко можно сформулировать, сказав, что расширение игры добавлением болванов не влияет существенно на ее решение,- необходимо только к каждому дележу добавить компоненты, соответствующие болванам , причем значения этих компонент являются очевидными: они представляют собой то количество, которое каждый болван мог бы получить в несущественной игре Н, описывающей их взаимоотношения друг с другом.

46.9.2. Мы заключим этот пункт замечанием о том, что (46:J) утверждает, что старая теория не имеет простых свойств новой в том и только в том случае, когда композиция не является описанным выше частным случаем, и наследование свойств нарушается, как указывалось в третьем замечании п. 46.8.1.

46.10. Погружение игры

46.10.1. В четвертом замечании п. 46.8.1 мы снова подтвердили указания п. 44.6.2, согласно которым переход от старой теории к новой становится необходимым, если игра рассматривается как неизолированная. Теперь мы сформулируем эту идею в ее окончательном и точном выражении.

Удобнее на этот раз обозначить рассматриваемую игру через А, а множество ее игроков через /. Следует иметь в виду, что эта игра А совершенно произвольна - никакой разложимости А не предполагается.

х) Теперь удобно для игроков снова ввести обозначения п. 41.3.1. 2) Вспомним обозначения и. 44.2.

Мы начнем с введения понятий, необходимых для того, чтобы рассматривать данную игру А как неизолированное явление. Это7достигается погружением ее без изменений в более широкую систему, которую удобно рассматривать как другую игру Г. В соответствии с этим будем говорить, что игра А погружена в Г или что игра Г есть расширение А, если Г есть композиция А с другой игрой Н *). Другими словами, А погружена во все те игры, для которых она является компонентой 2).

46.10.2. Исследуем теперь решения А, рассматривая А как неизолированное явление. В свете сказанного выше, это сводится к перечислению всех решений всех расширений Г игры А и интерпретации их относительно А. Последним действием должно быть взятие /-компоненты в смысле п. 44.7.4. Из пятого замечания п. 46.8.2 мы знаем, что это возможно, если только мы не рассматриваем решений, не принадлежащих нормальной зоне (Ь).

Могут быть сомнения относительно того, следует ли брать решения Г в смысле старой или в смысле новой теории. Первое может показаться более оправданным с точки зрения п. 44.6.2: для объяснения внешних влияний на игру, вызванных переходом от А к Н, больше не требуется выхода за пределы старой теории 3). Оказывается, однако, что нам вовсе не нужно решать этот вопрос, потому что результат для А будет один и тот же, независимо от того, какую теорию мы используем для Г. Но если мы используем для Г новую теорию, то мы должны ограничиться случаем (46:1:Ь), как это указывалось выше.

Таким образом, окончательно вопрос ставится в следующей форме. (46 :К) Рассмотрим все расширения Г игры А и все решения этих

расширений Г:

(a) в смысле старой теории, т. е. для Е (0);

(b) в смысле новой теории в нормальной зоне, т. е. для любого Е (е0) случая (46:1:Ь).

Каковы будут /-компоненты этих решений?

46.10.3. Ответ очень прост:

(46:L) /-компоненты решений игры Г, отвечающие на вопрос (46:К), суть в точности следующие множества: это все решения игры А в нормальной зоне, т. е. для любого множества Е (ф) в случае (46:1:Ь). Это справедливо как для (а), так и для (Ь) (46:К).

Доказательство. е0 = 0 относится к случаю (46:1:Ь) (см. сноску 1 на стр. 410); поэтому случай (а) является более узким, чем (Ь). В связи с этим нам необходимо только показать, что все множества, полученные из (Ь), содержатся среди множеств, описанных выше, и что все эти множества также можно получить с помощью (а).

Первое утверждение представляет собой лишь утверждение о наследственном характере нормальной зоны (Ь).

г) Игра Н и множество ее игроков К совершенно произвольны, за исключением того, что множества К и / не должны пересекаться.

2) Так как компонента компоненты есть сама компонента (вспомним соответствующие определения, в частности (43:D) из п. 43.3.1), расширение расширения снова есть расширение. Другими словами, расширение есть транзитивное отношение. Это освобождает нас от рассмотрения каких-либо непрямых связей, основанных на этом отношении.

3) Кроме того, транзитивность, указанная в предыдущей сноске, показывает, что любое дальнейшее расширение Г может рассматриваться как непосредственное расширение А.

Второе утверждение будет следовать из (46:1:Ь), если мы можем сделать следующее. Пусть дано такое число ср, что - А 4 ср А 2; найти такую игру Н и число \J) что - Н 4 if> Н 2, ф + г) = 0, и игра Н имеет решения для Е (гр). Оказывается, такая игра Н существует, и в качестве Н можно выбрать даже игру трех лиц.

Действительно, пусть Н - существенная игра трех лиц с произвольным у > 0. Тогда, согласно (45:2) из п. 45.1, Н4 = Зу, а согласно (45:9) 1 3

из п. 45.3.3, Н2 =2 f НЕ ± = 2 V- Мы потребовали выполнения равенства if = - ф, а теперь мы знаем, что

-Зугр-у.

Эти требования, очевидно, можно удовлетворить, если выбрать у достаточно большим. Затем нам также необходимо решение игры Н для Е (гр).

- 3

Существование такого решения (для - Зу if? Т) будет доказано в § 47.

46.10.4. К этому результату следует добавить еще два замечания. Во-первых, если мы хотим осуществить процесс расширения таким

образом, чтобы старая теория обладала свойствами наследования, мы должны позаботиться о следующем: композиция Г из А и Н должна быть такой, чтобы из е0 = 0 следовало ф = 0 (и, значит, гр = 0). Ввиду (46:J) это означает, что либо А, либо Н несущественна. Последнее означает (см. в соответствующем месте), что к А добавляются только болваны . Таким образом, мы имеем:

(46:М) Старая теория остается наследственной тогда и только тогда, когда либо исходная игра А несущественна, либо расширение ограничивается добавлением к А болванов ).

Во-вторых, уже в п. 44.6.2 предлагалось рассматривать внешний источник, который создает эксцессы и прокладывает путь для перехода от старой теории к новой, как нового игрока.

Приведенный выше результат (46 :L) оправдывает и несколько иную точку зрения: внешним источником из п. 44.6.2 оказывается добавляемая к А игра Н, или, лучше сказать, множество К ее игроков.

Теперь мы увидели, что для получения требуемого результата игра Н должна быть существенной. Кроме того, мы знаем, что существенная игра должна иметь п 3 участников, а доказательство (46:L) показало, что соответствующая игра Н с п = 3 участниками действительно существует.

Итак, мы видим следующее:

(46:N) Внешний источник, указанный в п. 44.6.2, может рассмат-

риваться как группа новых игроков, но не как один игрок. Действительно, минимальное эффективное число членов этой группы равно 3.

46.10.5. Предыдущие рассуждения оправдали наш переход от старой теории к новой (в пределах нормальной зоны (Ь)) и внесли ясность в природу этого перехода. Мы видим теперь, что здравый смысл предположений п. 44.3 не годится для старой теории, но что он справедлив полностью в той новой области, к которой мы перешли. Это завершает теорию удовлетворительным образом.