*) То есть когда оно имеет место в своей математически точной форме, которая будет дана нами в п. 30.1.1.

2) Мы продолжаем использовать это в качестве иллюстрации, хотя выше уже было показано, что подобную надежду следует оставить навсегда. Это можно мотивировать следующим образом. Показывая, что произойдет при отсутствии некоторых осложняющих обстоятельств, мы можем взглянуть на сами эти обстоятельства с новых точек зрения. Разумеется, на данном этапе наши подлинные интересы касаются именно этих усложняющих обстоятельств, которые весьма существенны.

3) Математическая теория упорядочения довольно проста. Она дает более глубокое понимание этих условий, чем любое словесное рассмотрение. Необходимые математические сведения можно найти в п. 65.3.

х с у на участников не должно влиять рассмотрение какого-либо третьего дележа. Иначе говоря, мы считаем отношение превосходства элементарным отношением, связывающим только два дележа х и у. Дальнейшее сравнение трех или более - а в конечном счете и всех - дележей является предметом теории, которая должна быть построена. Она должна представлять собой как бы надстройку, воздвигнутую над элементарным понятием превосходства.

Сможет ли возможность получения определенных выгод в результате отказа от у в пользу х, рассмотренная в этом определении, быть сделана убедительной для заинтересованных сторон,- зависит от физических фактов данной ситуации, или, говоря языком теории игр, от правил игры.

Мы предпочитаем использовать вместо термина превосходство с его многочисленными ассоциациями другое слово, более подходящее в качестве технического термина. Когда имеет место описанное выше отношение между двумя дележами х и у мы будем говорить, чтоа; доминирует у.

Если переформулировать несколько более тщательным образом то, что мы вправе ожидать от решения, состоящего из одного дележа, то можно сказать, что такой дележ должен доминировать все остальные и не должен сам доминироваться никаким другим дележом.

4.4.2. Понятие доминирования, сформулированное - или скорее намеченное - выше, носит, очевидно, характер некоторого упорядочения, аналогичного вопросу о предпочтении или же о размере в любой количественной теории. Понятие решения, состоящего из единственного дележа 2), соответствует понятию первого элемента в условиях этого упорядочения 3).

Поиск такого первого элемента был бы правдоподобным, если бы рассматриваемое упорядочение, т. е. понятие доминирования, обладало бы важным свойством транзитивности; иначе говоря, если бы из того, что х доминирует у, а у доминирует z, следовало бы, что х доминирует z. В этом случае мы могли бы действовать следующим образом: начиная с произвольного х, искать у, которое доминирует х; если подобное у существует, то взять его и искать z, которое доминирует у; если такое z существует, то взять его и искать и, которое доминирует z, и т. д. В большинстве практических проблем имеются хорошие шансы на то, что либо этот процесс закончился за конечное число шагов нахождением элемента w> не доминируемого никаким другим, либо же последовательность х, у, z, и, . . . будет продолжаться бесконечно, но эти х, у, z, и, . . . будут стремиться к предельному элементу w, не доминируемому никаким другим. При этом, благодаря указанной выше транзитивности, окончательное w будет в любом из этих случаев доминировать все ранее полученные х, у, z, и, . . .

Мы не будем здесь входить в более тонкие детали, которые могли бы и должны были бы быть затронуты при более подробном рассмотрении.

Читателю должно быть ясно, что продвижение вдоль последовательности х, у, z, и, . . . соответствует последовательным улучшениям , завершающимся нахождением оптимума , т. е. первого элемента w, который доминирует все остальные и не доминируется никакими другими элементами.

В случае, когда транзитивность не имеет места, положение дел становится совершенно иным. В этом случае любая попытка достижения оптимума путем последовательных улучшений может оказаться тщетной. Может случиться, что х доминируется элементом у, у доминируется элементом z, a z в свою очередь доминируется элементом х 1).

4.4.3. В действительности отношение доминирования, на котором мы основываемся, не является транзитивным. В нашем пробном описании этого понятия мы указывали, что х доминирует г/, когда существует группа участников, каждый из которых предпочитает свою индивидуальную ситуацию в х соответствующей ситуации в г/, причем эти участники убеждены в том, что, действуя как одна группа, т. е. как некоторый союз, они могут провести свои предпочтения в жизнь. Подробно мы рассмотрим эти вопросы в п. 30.2. Мы будем называть эту группу участников эффективным множеством для доминирования х над у. Но если х доминирует у и у доминирует z, то эффективные множества для этих двух доминирований могут быть непересекающимися, и поэтому никаких заключении по поводу отношения между z ж х сделать нельзя. Может случиться даже, что z доминирует х при помощи некоторого третьего эффективного множества, быть может, не пересекающегося с первыми двумя.

Это отсутствие транзитивности, особенно в приведенном выше формальном изложении, может показаться досадным усложнением. Может даже представиться желательной попытка освободить теорию от него. Однако читатель, который посмотрит на последний абзац с несколько другой точки зрения, отметит, что он содержит лишь описание в общих терминах одного в высшей степени типичного для социальных организаций явления. Соотношения доминирования между различными дележами х, у, z, . . ., т. е. между различными состояниями общества, соответствуют различным путям, которыми они могут вывести из равновесия, т. е. расстроить планы друг друга. Тот факт, что различные группы участников, действуя в качестве эффективных множеств в различных соотношениях подобного рода, могут вызвать появление циклических доминирований (т. е. доминирования у над х, z над у ж х над z), является в действительности одной из наиболее характерных трудностей, с которыми придется, столкнуться теории этих явлений.

4.5. Точное определение решения

* 4.5.1. Таким образом, наша задача состоит в замене понятия оптимума, т. е. первого элемента, некоторым другим понятием, которое может взять на себя его функции в состоянии статического равновесия. Это становится необходимым потому, что первоначальное понятие стало несостоятельным. Впервые мы подметили его провал на конкретном примере игры трех лиц в пп. 4.3.2, 4.3.3. Однако теперь мы получили возможность более глубокого проникновения в причины его неудачности: эти причины

*) В случае транзитивности это невозможно, так как - если есть нужда в доказательстве - х никогда не доминирует себя. Действительно, если, скажем, у доминирует х, z доминирует у ж х доминирует z, то из транзитивности мы можем заключить, что х доминирует х.

заключаются в самой природе нашего понятия доминирования и особенно в его нетранзитивности.

Этот тип отношения вовсе не является присущим исключительно нашей проблеме. Другие его примеры хорошо известны во многих обла- . стях, и достойно сожаления, что они никогда не подвергались общему математическому рассмотрению. Мы имеем в виду все те понятия, которые носят общий характер сравнения предпочтений, превосходства или порядка, но не обладают транзитивностью; таковы, например, сила игроков в шахматном турнире или гандикапы в спортивных состязаниях и скачках и т. п. х).

4.5.2. Обсуждение игры трех лиц в пп. 4.3.2, 4.3.3 показало, что решение будет, вообще говоря, уже не единственным дележом, а некоторым множеством дележей. Иначе говоря, нам придется заменить понятие первого элемента понятием множества элементов (дележей) с надлежащими свойствами. При подробном рассмотрении этой игры в § 32 (см. также ее интерпретацию в п. 33.1.1, в которой обращается внимание на некоторые отклонения) мы дадим точный вывод с помощью системы постулатов из п. 30.1.1 той системы трех дележей, которая была введена в качестве решения игры трех лиц в пп. 4.3.2, 4.3.3. Эти постулаты будут весьма сходны с постулатами, характеризующими первый элемент. Разумеется, они представляют собой условия, налагаемые на некоторое множество элементов (дележей); однако если это множество окажется состоящим только из одного элемента, то наши постулаты перейдут в характеризацию первого элемента в общей системе всех дележей.

Пока что мы не будет вдаваться в детальное обоснование этих постулатов; однако мы сформулируем их сейчас же в надежде, что читатель найдет их достаточно правдоподобными. В следующих абзацах мы приведем некоторые мотивы качественного характера или, точнее говоря, одну возможную интерпретацию предлагаемых постулатов.

4.5.3. Наши постулаты заключаются в следующем. Множество S элементов (дележей) является решением, если оно обладает следующими двумя свойствами.

(4:Afa) Ни одно у, содержащееся в S, не доминируется каким бы то ни было содержащимся в S.

(4:А:Ь) Любое у, не содержащееся в S, доминируется некоторым х, содержащимся в S.

(4:А:а) и (4:А:Ь) можно сформулировать в виде одного условия:

(4:А:с) Элементами S являются в точности те элементы, которые не доминируются элементами самого S 2).

Читатель, который заинтересуется упражнением подобного рода, может теперь проверить наше предыдущее утверждение о том, что для множества S, состоящего изящного элемента, написанные выше условия

*) Некоторые из этих задач рассматривались математически путем введения понятий случая и вероятности. Не отрицая оправданности такого подхода, мы сомневаемся, что он может привести к полному пониманию сути дела даже в этих случаях. Он оказался бы совершенно непригодным в нашем рассмотрении социальных организаций.

2) Таким образом, (4:А:с) эквивалентно совокупности (4:А:а) и (4:А:Ь). Недостаточно искушенному в математике читателю это может показаться несколько запутанным, хотя в действительности это утверждение представляет собой непосредственное выражение довольно простых идей.