Основным принципом рассуждений в пп. 44.4.3-46.10.4 был следующий: изучаемая игра первоначально рассматривалась как изолированное явление, но затем эта изоляция устранялась и игра погружалась, без изменений, всеми возможными способами в некоторую более широкую игру. Такой ход идей свойствен естественным наукам, особенно механике. Первая точка зрения соответствует анализу так называемых замкнутых систем, вторая соответствует их погружению, без взаимодействия, во все возможные более широкие замкнутые системы.

Методическая важность этого метода неоднократно подчеркивалась в современной литературе по теоретической физике, особенно в анализе структуры квантовой механики. Примечательно, что оказалось возможным столь существенно использовать этот метод в нашем исследовании.

46.11. Важность нормальной зоны

46.11.1. Результат (46:Г:Ь) определяет для каждого решения составной игры Г в нормальной зоне, а тем более для каждого решения в смысле общей теории, числа ф и if). Этот факт, а также непосредственные свойства чисел ф игр, связанные с решением, по-видимому, являются настолько фундаментальными, что заслуживают более подробного нематематического обсуждения.

Мы рассматриваем две игры А и Н, в которых участвуют два непересекающихся множества игроков J и К; правила этих игр обеспечивают полное отсутствие какой-либо физической связи между ними. Но тем не менее мы рассматриваем их как одну игру Г; конечно, эта игра является составной, с двумя изолированными компонентами А и Н.

Найдем теперь все решения всего объединения, т. е. составной игры Г. Так как нежелательно рассматривать что-либо вне Г, мы придерживаемся первоначальной теории п. 30.1.1 и 42.4.1 х). Затем мы показали, что любое такое решение Uj определяет число ф 2), обладающее следую-щим свойством: для каждого дележа а из Uj игроки игры А (т. е. из /) вместе получают величину ф, а игроки игры Н (т. е. из К) получают вместе величину -ф. Таким образом, принцип организации, осуществленный в в Uj, должен обеспечить (помимо всего прочего) то, чтобы игроки игры Н при всех условиях передавали величину ф игрокам из А.

Остальные свойства решения Uj, т. е. принципа организации, или нормы поведения в нем, состоят в следующем.

Во-первых, игроки игры А в своих взаимоотношениях друг с другом должны руководствоваться устойчивой нормой поведения при условии, что передача ф из другой группы игроков не подлежит обсуждению3).

Во-вторых, игроки игры Н в своих взаимоотношениях друг с другом должны руководствоваться устойчивой нормой поведения при условии, что передача ф другой группе игроков не подлежит обсуждению 4).

В-третьих, передача ф должна лежать в границах (46:35) из п. 46.8.3, т. е. удовлетворять условиям

(46:35) А1ФА2, -\П\2ч\Н\±.

х) То ecTb j?0 : 0.

2) Так как ф + гр = е0 = 0, мы не вводим гр = -ф.

3) Иначе говоря, /-компонента Vj решения Uj есть решение игры А для Е (ф).

4) Иначе говоря, #-компонента WK решения Uj есть решение игры Н для Е (-ф).

46.11.2. Смысл этих правил, очевидно, состоит в том, что любое решение, т. е. любой устойчивый социальный порядок в Г, основан на выплате определенной дани одной из двух групп другой. Величина этой дани есть существенная часть решения. Возможные величины дани, т. е. величины, которые могут появиться в решении, строго определены приведенными выше неравенствами (46:35). Это условие, в частности, показывает следующее:

Во-первых, среди всех возможностей существует нулевая дань, т. е. отсутствие какой-либо дани.

Во-вторых, нулевая дань является единственной возможностью тогда и только тогда, когда одна из двух игр А, Н несущественна (см. шестое замечание в п. 46.8.3).

В-третьих, во всех остальных случаях возможны как положительные, так и отрицательные дани,- иначе говоря, как игроки А, так и игроки Н могут быть группой, платящей дань.

Границы (46:35) налагаются обеими играми А и Н, т. е. объективными физическими возможностями обеих групп х). Эти границы выражают тот факт, что каждая группа имеет минимум, снизить который не может никакая форма социальной организации: - j А ± и - Ы ±; вместе с тем каждая группа имеет максимум, выше которого она не может подняться ни при какой форме социальной организации: Д2 и Н2.

Таким образом, в конкретных физических условиях, т. е. в игре, например, А, эти два числа A\t и А 2 можно интерпретировать следующим образом: -A4 есть наихудшее, с чем еще можно примириться при любых условиях, а А 2 есть максимальное требование, которое может найти отклик извне при каких-либо условиях 2).

Результаты (45:Е) и (45:F) из пп. 45.3.1, 45.3.2 теперь приобретают новое значение: согласно этим результатам, эти два числа могут обращаться в нуль только одновременно (когда игра А несущественна) и их отношение всегда лежит между определенными пределами.

46.12. Первое возникновение явления передачи: п = 6

46.12. Мы неоднократно видели (см. (46:J) из п. 46.8.3, а также второе и третье замечания п. 46.11.2), что характерные новые черты теории составной игры Г проявляются только в том случае, когда обе компоненты А и Н являются существенными. Это оказывается, когда е0 ~ 0, но

т. е. имеет место ненулевая дань в смысле п. 46.11.

Теперь мы знаем, что для того, чтобы игра была существенной, в ней должно участвовать не меньше трех игроков. Если это имеет место как для А, так и для Н, то составная игра Г должна иметь не меньше шести игроков.

Как показывает следующее рассуждение, шести игроков действительно достаточно. Пусть обе игры, А и Н, являются существенными играми

г) Однако где именно фактическая величина ф лежит между этими границами, определяется не этими объективными данными, а решением, т. е. нормой поведения, которая оказывается общепринятой.

2) Нужно вспомнить, что во всех этих рассуждениях значение v (/) коалиции всех игроков А принимается равным нулю; иначе говоря, мы обсуждаем убытки, вызванные единственно недостаточным кооперированием внутри группы и неблагоприятными общими социальными условиями, а также прибыли, вызванные единственно недостаточным кооперированием в других группах и благоприятными общими социальными условиями.

трех лиц, для которых у = 1. Тогда А 4 = [Н 4 = 3f f А 2 = Н г = 3/г (см. п. 46.10.3). Следовательно при - 3/2 ф 3/2 как ф, так игр = -ф заключены между -3 и 3/2. Как будет показано в § 47, отсюда следует существование решений V/ и W# соответственно игр А и Н для Е (ф) и 2? (*ф). Композиция U/ этих решений являeтcя тогда решением составной игры Г для данного ф. Так как ф ограничено только неравенствами - 3/2 Ф g 3/2, мы можем выбрать ф отличным от нуля. Таким образом, мы доказали следующее утверждение:

(46:0) п = 6 есть наименьшее число игроков, при котором в соответствующей игре может наблюдаться характерный новый элемент теории составных игр (т. е. возможность равенства е0 = О при ф = - я) Ф 0, см. рассуждения, приведенные выше).

Мы неоднократно выражали уверенность в том, что возрастание числа игроков вызывает не только количественное усложнение явлений, наблюдаемых для меньшего числа игроков, но может вызвать также и качественно новые явления. В частности такие явления наблюдались, когда число игроков последовательно возрастало до 2, 3, 4. Поэтому представляет интерес тот факт, что то же происходит, когда число игроков достигает шести *).

§ 47. СУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ В НОВОЙ ТЕОРИИ

47.1. Необходимость рассмотрения этого вопроса

47.1. Нам остается рассмотреть решения существенных игр трех лиц в соответствии с новой теорией.

Это необходимо, так как мы уже использовали в пп. 46.10 и 46.12 существование этих решений, но кроме того, их рассмотрение интересно также и само по себе. Ввиду той интерпретации, которую мы были вынуждены придать этим решениям в п. 46.12, а также ввиду их центральной роли в теории разложения 2) желательно детально исследовать их структуру. Кроме того, знакомство с этими деталями приведет к другим интерпретациям, имеющим некоторое значение (см. пп. 47.8 и 47.9). Наконец, мы обнаружим, что принципы, использованные для нахождения рассматриваемых решений, имеют более широкое применение (см. пп. 60.3.2, 60.3.3).

47.2. Предварительные замечания

47.2.1. Мы будем рассматривать существенную игру трех лиц, обозначаемую через Г, с нормировкой у = 1. Таким образом, Г ]± = 3, Г2 = = 3/2 (см. п. 46.12). Мы хотим найти решения этой игры Г для множества Е (е0) 3). В приложениях, упоминавшихся выше, нам была нужна только

*) Относительно некоторых других качественно новых явлений, которые проявляются только для шести игроков, см. п. 53.2.

2) Это единственная задача абсолютно общего характера, для которой мы имеем в настоящее время полное решение!

3) Мы пишем Г и е0, хотя использовались соответственно обозначения А и ф,

а также Н и г? (= -ф).

Конечно, рассматриваемая теперь игра Г не имеет ничего общего с разложимой игрой Г, рассматривавшейся ранее.