Таблица 25. К рис. 51

(которые соответствуют границам для дополнительных условий (47.5)) расположены по отношению к фундаментальному треугольнику на рис. 49 так, как это показано на рис 50. Они разбивают фундаментальный треугольник на семь областей, каждую из которых можно охарактеризовать

теми двухэлементными множествами S, которые являются эффективными в этой области в смысле (47:5). Список этих множеств приводится в табл. 25. Теперь мы можем вычертить аналог рис. 33, на котором для каждой точки фундаментального треугольника указаны заштрихованные области х), которые она доминирует. Это сделано на рис. 51 (см. табл. 25) в соответствии с (47.5). Необходимо рассматривать отдельно каждую из семи областей рис 50, а каждую заштрихованную область рис 51 нужно распространить на весь фундаментальный треугольник.

Из рис. 51 ясно, что никакая точка области 2 не может доминироваться точкой, лежащей вне этой области 2). Следовательно, условие (44:Е:с) п. 44.7.3, которое характеризует решение V для Е (е0), т. е. для всего фундаментального треугольника, должно также выполняться для части V, содержащейся в области 2, если рассматривается область 2 (вместо всего фундаментального треугольника, т. е. Е (е0)). Но область 2 есть треугольник, аналогичный фундаментальному треугольнику на рис. 32,

за исключением коэффициента пропорциональности 1--- 3). Сравнение

рис. 33 с областью 2 рис. 51 показывает, что условия доминирования те же самые.

47 Л .2. Следовательно, если ввести множи-

Рис. 50.

Рис. 51.

то все рассуждения пп. 32.1.3-32.2.3

л %е0

тель пропорциональности 1--

применимы к части V содержащейся в области 2.

Следовательно, часть V, содержащаяся в 2, должна быть либо мно* жеством ° °, либо множеством-----, которые указаны на рис 52. (Пря-

*) Исключая их границы. 2) Включая ее границу.

мая-----может находиться в любом положении ниже точек °°). Однако

для того чтобы получить все решения, нужно произвести все перестановки

элементов 1, 2, 3, т. е. треугольник с прямой-----повернуть на 0°,

60° и 120°. (См. п. 32.2.3; множество °0° соответствует (32:В), а прямая

-----соответствует (32:А).) После того как часть V, содержащаяся в

области 1, найдена, мы перейдем к нахождению остальной части V. Так как V есть решение, эта остальная часть V должна лежать в области, которая не доминируется частью V, содержащейся в области 1. Сравнение рис. 52 с рис. 51 показывает, что эта недоминируемая область следующая.

Для множества °0° она состоит из трех заштрихованных треугольников рис. 53, для ггрямой

-----она состоит из трех заштрихованных

треугольников на рис. 54 *).

Из рис. 51 ясно, что никакая точка ни в одном из этих треугольников не может доминиро-ваться точкой из другого треугольника 2). Следовательно, условие (44:Е:с) п. 44.7.3, которое характеризует решение V для Е (е0), т. е. для всего фундаментального треугольника, и которое выпол-

Рис. 53. Рис. 54.

нено также для части V, содержащейся в области 1, если рассматривается эта область (вместо всего фундаментального треугольника, т. е. Е (е0)), утверждает в точности следующее: (44:Е:с) выполнено для части V, содержащейся в каждом заштрихованном треугольнике, если рассматривается этот треугольник.

47.5. Случай (IV). Вторая часть

47.5.1. Рассмотрим поэтому один из этих треугольников; обозначим его через Т. Его положение щ фундаментальном треугольнике 3) и

2) Положение всех этих треугольников ясно указано на рисунках, за исключением нижнего треугольника на рис. 54. Этот треугольник лежит, конечно, вне внутреннего треугольника (области 1) - это утверждение эквивалентно ограничению (32:8) из п. 32.2.2, см. также рис. 40 из этого пункта. Его положение по отношению к внешнему (фундаментальному) треугольнику менее определенно: он может стянуться в точку или даже исчезнуть совсем.

Нетрудно видеть, что последнее явление исключено, если размер (линейный)

внутреннего треугольника меньше 1/4 внешнего; это означает, что 1--( з*)

т. е. е0 >> 1. Мы не предполагаем обсуждать далее этот вопрос.

2) Все это относится либо к рис. 53, либо к рис 54, но, конечно, не к обоим в одних и тех же рассуждениях!

3) С точностью до поворота на 0° или 120°. Для нижнего треугольника на рис. 54 вершина лежит не на внутреннем треугольнике, а ниже его (см. сноску 1 на этой стр.), но это не меняет наших рассуждений.

заштрихованные области, которые доминируются данной точкой в нем (взятые из рис. 51), показаны на рис. 55. Мы можем теперь ограничиться этим треугольником Т и отношением доминирования, которое в нем определено, и найти решение (44: Е:с) по отношению к этому треугольнику.

Точка о

ТреугольникТ Рис. 55.

-Треугольник Т~~ Прямая I Рис. 56.

МьГвычертим отдельно Т и доминируемые области, а также введем в нем систему координат х, у (рис. 56).

Заметим, что вершина о не доминируется точками Т и поэтому должна принадлежать V * 2).

47.5.2. Рассмотрим теперь в Т две точки из V с различными ординатами у. Для того чтобы верхняя точка не доминировала нижнюю, последняя не должна находиться ни в одном из заштрихованных секторов,

Точна о

/Точка о

Ордината у

Прямая I

Прямая I

Рис. 57.

Рис. 58.

определяемых первой точкой, т. е. нижняя точка должна находиться в среднем секторе ниже первой, и обратно. Таким образом, если в Т дана точка из V, то все точки из V в Г с различными ординатами у должны находиться в одной из двух заштрихованных областей, указанных на рис. 57.

47.5.3. Предположим теперь, что у>± - ордината более чем одной точки из V. Пусть тогда ряд - две различные точки из V, ординаты которых равны г/4 (рис. 58). Выберем теперь точку г внутри треугольника,

!) Для других заштрихованных треугольников (т. е. Г), отличных от нижнего треугольника рис. 54, этот факт следует из других рассуждений, а именно: как показывают рис. 53, 54, вершина такого треугольника лежит на границе внутреннего треугольника (т.ув. области 1) и принадлежит множеству, которое, как мы знаем, является частью V в области 1.

2) Когда нижний заштрихованный треугольник (т. е. Т) рис. 54 вырождается в одну точку (см. сноску 1 на стр. 421), которая является, конечно, точкой о, она определяет часть V в Т.