Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

полученное из исходного посредством (48:А:а) или (48:А:Ь), будет обладать свойством (48:А:с) или соответственно (48:A:d).

Замечание. Это действительно верно как для (48:А:а), так и для (48:А:Ь) и не зависит от того, приводят ли (48:А:а) и (48:А:Ь) к одному и тому же множеству. Точнее:

(48:В) Пусть множество М обладает свойством (48:А:с) (соответственно (48:A:d)).

Тогда оба множества, которые получены из него посредством (48:А:а) и (48:А:Ь) (мы не предполагаем их совпадения), обладают свойством (48:A:d) (или (48:А:с)).

Доказательство. Мы должны показать, что оба преобразования (48:А:а) и (48:А:Ь) переводят (48:А:с) в (48:A:d) и наоборот. Ясно, что (48:А:с) эквивалентно следующему:

(48:А:с*) Если S £ М и Т $ М, то S Т.

Аналогично (48:A:d) эквивалентно утверждению

(48:A:d*) Если S $ М и Т £ М, то S 3= Т. *

Преобразование (48:А:а) меняет ролями условия принадлежности и непринадлежности множеству М. Следовательно, оно меняет ролями (48:А:с*) и (48:A:d*). Преобразование (48:А:Ь) меняет ролями символы Си. Следовательно, оно также меняет (48:А:с*) и (48:A:d*).

Из оказанного выше следует, что мы можем построить всю структуру, рассматривая только одно из двух множеств, W или L. Мы должны только требовать, чтобы оба преобразования (48:А:а) и (48:А:Ь) приводили к одному и тому же множеству (которое будет тогда соответственно L или W) и чтобы было удовлетворено соответствующее условие (48:А:с) или (48:A:d) (оставшееся условие выполняется автоматически).

Таким образом, мы имеем только два условия, налагаемых на W или на L: во-первых, эквивалентность (48:А:а) и (48:А:Ь) и, во-вторых, (48:А:с) или (48:A:d).

Первое из этих условий означает следующее. Элементы, не принадлежащие множеству, совпадают с дополнениями (в I) элементов этого множества. Другими словами, из двух взаимно дополнительных (в I) множеств S и -S одно и только одно принадлежит W (соответственно L).

Объединяя сказанное выше, мы получим следующее.

Множества W ( I) характеризуются следующими свойствами:

(48: W)

(48: W:а) Из двух взаимно дополнительных (в I) множеств S и - S одно и только одно принадлежит W.

(48:W:b) W содержит все надмножества своих элементов.

Множества L ( /) характеризуются следующими свойствами:

(48:L)

(48:L:a) Из двух взаимно дополнительных множеств S и -S одно и только одно принадлежит L.

(48:L:b) L содержит все подмножества своих элементов. Переформулируем это еще раз.

Если для W (для L) выполняется (48:W) (соответственно (48:L)), то (48:А:а) и (48:А:Ь) дают одно и то же множество L (соответственно W). Для W и L выполняются (48:А:а) - (48:A:d), а для L (для W) выполняется (48:L) (или соответственно (48:W)). Обратно, если для W и L выполняются (48:А:а) - (48:A:d), то для них порознь выполняются (48:W) и (48:L).



§ 49. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ПРОСТЫХ ИГР 49.1. Общие понятия выигрывающих и проигрывающих коалиций

49.1.1. Перейдем теперь к рассмотрению связи между выигрывающими и проигрывающими коалициями в самой игре.

Итак, предположим, что задана игра п лиц Г. Во всех последующих рассмотрениях удобно ограничиться старой теорией в смысле п. 30.1.1 или п. 42.4.1. Следовательно, как указано в п. 42.5.3, мы можем предполагать, что Г является игрой с нулевой или с постоянной суммой. В данном случае мы предпочитаем выбрать в качестве Г игры с нулевой суммой.

Кроме этого, никаких ограничений на Г не налагается и, в частности, не предполагается ее нормирование.

49.1.2. Проанализируем сначала понятие проигрывающей коалиции. Повторяя, по существу, то же, что было сказано в п. 35.1.1, можно рассуждать следующим образом1). Игрок £, когда он остается один, получает количество v ((£)). Это, очевидно, самое худшее, что может с ним произойти, так как от дальнейших потерь он может предохранить себя без чьей-либо помощи. Таким образом, мы можем считать игрока i, когда он получает v ((£)), полностью побежденным. Коалиция S может считаться побежденной, если она получает 2 v ((0) так как в этом случае каж-

дый игрок i в ней обязательно должен получить v ((£)) 2). Таким образом критерием побежденности коалиции является:

у (5) = S v((0).

В терминологии п. 31.1.4 это означает, что коалиция S линейная (см. также сноску 3 на стр. 312).

Мы получили удовлетворительное определение семейства Lr 3) всех проигрывающих (побеждаемых) коалиций.

(49:L) Ьт есть множество всех линейных множеств S (/).

Теперь легко определить выигрывающие коалиции. Естественно принять, что они противоположны проигрывающим, т. е. что система W? всех выигрывающих коалиций определяется так:

(49:W) Wr есть множество всех множеств S (/), для которых множество -S линейно.

Из общих соображений должно быть ясно (это, впрочем, немедленно проверяется с помощью пп. 27.1.1-27.1.2), что множества WV и Lv инвариантны относительно стратегической эквивалентности.

г) Различие состоит в том, что рассматриваемая здесь игра Г является более общей.

2) Так как ни один игрок i не обязан соглашаться на меньшее, чем v ((i)), и вся коалиция S имеет в сумме ((0) это единственный способ, которым они могут про-

i£S

извести разделение.

3) Для того чтобы избежать путаницы, мы будем пользоваться обозначениями WT и LT вместо Wn L из- п. 48.2.2. Различие состоит здесь в том, что п. 48.2.2 посвящен постулированию свойств, которые кажутся желательными для понятий выигрывания и проигрывания, в то время как данный анализ определяет множества, полученные из конкретной игры Г.

Эти две точки зрения сольются в (49:Е) из п. 49.3.3.



49.1.3. Мы не имеем оснований ожидать, что определенные выше семейства Wr и Ьт удовлетворяют условиям (48:А:а) - (48:A:d) (для W и L) из п. 48.2.1. Игра в ее рассматриваемой общности не обязана Принадлежать к тому простому типу, где единственной целью всех игроков является образование определенных решающих коалиций и нет никаких других мотивов, которые входят в количественное описание игры х). Поэтому необходимо ввести ограничения, чтобы выразить те свойства, которые мы имеем в виду. Точная формулировка этого ограничения является нашей непосредственной задачей.

Тем не менее мы начнем с определения того, в какой степени условия (48:А:а) - (48:A:d) выполняются для игры Г во всей ее общности. Мы дадим ответ в несколько шагов.

(49: А) Семейства Wr и LT всегда удовлетворяют условиям (48:A:b) - (48:A:d).

Доказательство. (48:А:Ь) получается немедленно сопоставлением (49:L) и (49:W) из п. 49.1.2 2).

(48:А:с) и (48:A:d). Так как мы уже располагаем (48:А:Ь), мы можем применить (48:В) из п. 48.2.2 3) и, следовательно, утверждения (48: А: б) и (48:A:d) следуют друг из друга. Но (48:A:d) совпадает с (31:D:c) из п. 31.1.4, что видно из рассмотрения (49:L).

Таким образом, главное различие между нашими заданными Wr и LT и структурой из п. 48.2 лежит в (48:А:а), т. е. в вопросе, являются ли Wr и Lr дополняющими друг друга множествами или нет. Мы можем разбить это утверждение на две части.

(49:В:а) (49:1:а) выполняется тогда и только тогда, когда игра Г существенна.

(49:В:Ь) Если игра Г несущественна, то Wr = Lv = I 6).

Доказательство. (49:В:а). Отрицанием (49:1:а) является существование такого S, что оба множества S и -S линейные. В силу (31:Е:Ь) из п. 31.1.4 это равносильно несущественности игры.

х) Наше рассмотрение игр четырех] лиц содержит много иллюстраций таких мотивов, для которых в конце п. 36.1.2 дан хороший пример. Эта ситуация является действительно общей - класс игр, которые мы сейчас имеем в виду, является в определенном смысле крайним случаем (см. заключительное замечание из п. 49.3.3).

2) Действительно, понятие выигрывания было основано на понятии проигрывания как раз посредством операции дополнения.

3) Теперь понятно, почему мы отделили (48:А:а) от (48:А:Ь) в п. 48.2.1. В нашем случае выполняется (48:А:Ь), но не (48:А:а).

4) Может показаться странным, что условие никакая коалиция не может быть одновременно выигрывающей и проигрывающей должно быть сформулировано отдельно. Значение этого условия выявится в (49:В) и в сноске 6 ниже.

5) Утверждается, что каждая коалиция,-т. е. каждое подмножество 7,- либо выигрывающая, либо проигрывающая. Это, конечно, тот принцип, на основании которого мы хотим ограничить Г.

6) Таким образом, когда игра несущественна, коалиция может быть одновременно выигрывающей и проигрывающей,- очевидно, что в этом случае нахождение ее в том или ином состоянии не играет роли.

(49:1) (49:1:а) (49:1:Ь)


(49:В)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227