(49:В:Ь). Wr = Lr - I означает, что каждое S из / линейное. В силу (31:Е:с) из п. 31.1.4 это равносильно несущественности.

Прежде чем перейти к (49:1:Ь), заметим, что Wf1 и LT обладают одним свойством, которого нет среди (48:А:а) - (48:A:d):

(49:С) Lr содержит пустое множество и все одноэлементные мно-

жества *).

Доказательство. Это утверждение совпадает с (31:D:а), (31:D:b) из п. 31.1.4.

(49:С) является действительно новым условием, т. е. оно не вытекает из (48:А:а) - (48:A:d). Мы проверим это ниже, в п. 49.2. Таким образом, в наших правдоподобных рассуждениях в п. 48.2 мы рассмотрели черты, с необходимостью присущие Wr и Lr- Мы должны, следовательно, быть уверены в том, что данные условия содержат все, что надо. Это значит, что условия (48:A:b) - (48:A:d) и (49:С) вместе с результатом (49:В) о несущественности характеризуют Wr и Lr полностью. Это будет показано ниже, в п. 49.3.

49.2. Особая роль одноэлементных множеств

49.2.1. Мы начнем с обещанного примера пары семейств W и L, которые удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d)2), но не удовлетворяют (49:С). Фактически мы можем указать все такие пары.

(49:D) W и L удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), но не (49:С) тогда

и только тогда, когда они имеют следующий вид. W есть множество всех S, содержащих £0, a L есть множество всех S, не содержащих i0, где i0 - произвольный, но фиксированный игрок.

Доказательство. Достаточность. Непосредственно проверяется, что W и L, образованные указанным способом, удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d). (49:С) нарушается, так как одноэлементное множество (£0) принадлежит If и не принадлежит L.

Необходимость. Предположим, что W и L удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), но не удовлетворяют (49:С). Пусть (i0) - одноэлементное множество, которое не принадлежит L 3). Тогда (i0) принадлежит W. Каждое S, содержащее i0l принадлежит W в силу (48:А:с). Если S не содержит i0, то -S содержит i0; следовательно, в силу сказанного выше, - S принадлежит W и, в силу (48:A:b), S принадлежит L.

Наконец, в силу (48:А:а), множества W и L не пересекаются; следовательно, W совпадает с множеством тех S, которые содержат г0, a L - с множеством тех S, которые не содержат i0.

49.2.2. Имеет смысл кратко прокомментировать этот результат. W и L, образованные в (49:D), не могут быть множествами Wr и Ьг

ни для какой игры, так как для них не выполняется (49:С). Это может показаться странным, так как (49:D) воплощает очень ясную идею типа выигрывания и проигрывания , описанную соответствующими W и L. Действительно, они описывают ситуацию, в которой коалиция

х) По смыслу нашего полного анализа игр коалиция из одного игрока должна рассматриваться как проигрывающая, так как этому игроку не удалось отыскать партнеров для коалиции.

2) Мы упоминали первоначально только (48:A:b) - (48:A:d), но сделанное усиление не вызывает затруднений.

3) Если пустое множество не принадлежит L, то вследствие (48:A:d) никакое множество не может принадлежать.L, а следовательно, и любое (£0).

выигрывает, когда игрок i0 принадлежит ей, и проигрывает в противном случае. Почему не может быть построена игра, соответствующая этому частному случаю?

Причина кроется в том, что в описанных условиях, выигрывание вообще не является мотивом образования коалиций х). Игрок i0 выигрывает без чьей-либо помощи. Более того, в нашей терминологии это положение i0 не является победой - оно есть не результат применения какой-либо стратегии 2), а лишь фиксированное положение, предоставленное ему правилами игры 3). Игра, в которой коалиции не приводят к преимуществу, несущественна 4), даже если один игрок £0 будет иметь в ней значительное! фиксированное преимущество.

Читатель понимает, конечно, что все это только дополнительный комментарий к результатам, которые уже строго установлены выше (в (49:С) и (49:D))

49.3. Характеризация семейств W и L в реальных играх

49.3.1. Мы вернемся теперь ко второму вопросу, упомянутому в конце п. 49.1.3. Пусть даны два семейства W и L, которые удовлетворяют (48:A:b) - (48:A:d) и (49:С), а также (49:1:а) 5). Мы хотим построить существенную игру Г, для которой Wr = W и Lr = L. Выполняя это построение, нормируем Г с 7 = 1.

Множества S из Lr характеризуются тем, что они линейные, т. е. тем, что v (S) = -р, где р есть число элементов в S 6). Ввиду сказанного выше множества S из Wr характеризуются тем фактом, что -S принадлежит Ьт , т. е. что v (- S) = - (п - р). Так как v (- S) = - v (S), мы можем написать, что v (S) = п - р.

Таким образом, мы показали, что искомые отношения Wr = W, LT = L эквивалентны следующему:

(49:2) Для g-элементного множества S (#=0,1,

(49:2:а) у(5) = л -g

тогда и только тогда, когда S принадлежит W, а (49:2:b) v(iS)= -q

тогда и только тогда, когда S принадлежит L.

Таким образом, нашей задачей является построение игры Г (нормированной с у = 1) с характеристической функцией v (S), которая удовлетворяет (49:2).

г) Эквивалентное рассмотрение было проведено для частного случая в п. 35.1.4.

2) Мы всегда считали это тем же самым, что и образование соответствующих коалиций.

3) См. наше рассмотрение основных значений а, 6, с в игре трех лиц в п. 22.3.4. Полное обсуждение стратегической эквивалентности (см. п. 27.1.1) было проведено втом же духе. Преимущества, подобные данному, могут быть устранены стратегически эквивалентным преобразованием, в то время как преимущества, которые обусловлены образованием коалиций,- нет.

4) Следовательно, для нее Wr и Lr не будут совпадать с W и L, описанными (49:D), а будут удовлетворять условию (49:В:Ь).

б) Мы требуем выполнения (49:1:а), потому что имеем в виду главным образом существенные игры (см. (49:В)). Впоследствии, как будет показано в (49:Е), мы сделаем наше обсуждение исчерпывающим.

6) Напоминаем, что все v ((/)) = -у =

49.3.2. Утверждение (49:2) определяет v (S) для S из W и L, поэтому нам остается определить ее значения только для тех S, которые не принадлежат ни одному из этих множеств. Попытаемся приписать им всем значение 0. Согласно этому мы полагаем:

{п - д, если S£W, ) s является g-элементным множеством. - д, если S£L J ff = 0, 1, тг,

0 в остальных случаях1).

Мы докажем сначала, что v (S) есть характеристическая функция, т. е. что она удовлетворяет соотношениям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. Мы докажем эти условия в их эквивалентной форме (25:А) из п. 25.4.2.

Случай р = 1 со знаком =. v (I) = 0, так как, в силу (48:А:Ь) и (49:С), / = - 0 принадлежит W.

Случай р = 2 со знаком =. v (St) + v (S2) = 0> если Si и S2 - дополнительные множества. Действительно, если оба St и S2 не принадлежат W или L, то v (Si) = v (S2) = 0. Если одно из St и S2 принадлежит W или L, то, в силу (48:А:Ь), другое принадлежит соответственно L или W. Предположим по симметрии, что St £ L, S2 6 W, Пусть St имеет q элементов; тогда S2 имеет п - q элементов. Но тогда v (St) = - q и v (S2) = g. Итак, в любом случае v (St) + v (S2) = 0.

Случай p = 3 со знаком v (St) + v (S2) + v (S3) 0, где Si9 S2i S3 попарно не пересекаются, и объединение их равно I. Действительно, если ни одно из множеств St, S2, S3 не принадлежит W, то v (St), v (S2)i v (з) = 0 2)- Если одно из S S2, S3 принадлежит W, то мы можем по симметрии предполагать, что это S3. Следовательно, - S3 = St U 2 принадлежит L в силу (48:A:b), a St и S2 принадлежат L в силу (48:A:d). Пусть St имеет д4 элементов, 2 имеет д2 элементов, a S3 имеет п - д4 - д2 элементов. Тогда v (St) = - gi, v (iS2) = - g2, v ()5з) = q± + дг- Итак, в любом случае v + v (S2) + v (S3) 0.

49.3.3. Таким образом, v (S) соответствует игре Г. Установим теперь оставшиеся утверждения.

Характеристическая функция v (S) (т. е. игра Г) нормирована, и у= = 1. Действительно, все v ((i)) == - 1.

v (S) удовлетворяет (49:2). Вследствие (48:А:Ь) и того, что v ( - S) = = - v (S), обе части (49:2) переходят друг в друга при замене S на - S. Рассмотрим поэтому только вторую половину утверждения.

Если S £ L, то ясно, что v (S) = - g. Если S не принадлежит L, то из v (S) = - g следует, что - g = 0 3), т. е. q = 0. Но это означает, что S является пустым множеством в противоречии с (49:С).

Итак, игра Г обладает всеми требуемыми свойствами.

Мы в состоянии теперь доказать следующее исчерпывающее утверждение:

(49:Е) Для того чтобы два семейства W и L были семействами Wr и Ьг для соответствующей игры Г, необходимо и достаточно выполнения следующих требований: Если игра Г несущественна, то W = L =±= I. Если игра Г существенна, то выполняются (48:А:Ь) - (48:A:d), (49:с), (49:1:а).

х) Первые два условия непротиворечивы ввиду (49:1:а).

2) Ясно, что v (S) 0, если S § W.

3) Так как п - q Ф -q, S не может принадлежать W; следовательно, v (S) = 0.