Доказательство в случае, когда игра Г несущественна, непосредственно следует из (49:В:Ь).

Пусть игра Г существенна. Необходимость была установлена в (49:А), (49:В:а) и (49:С). Достаточность вытекает из произведенного построения.

В заключение упомянем другую интерпретацию (49:2). Вспомним неравенства (27:7) из п. 27:2 (описываемые также на рис. 30), которые определяют ограничения, налагаемые на v (S). Оказывается, что W? есть множество тех S, для которых v (S) достигает верхнего предельного значения, а - множество тех 5, для которых v (S) достигает нижнего предельного значения.

49.4. Точное определение простоты

49.4. (49:Е) позволяет нам дать строгое определение того класса игр, который мы упомянули в пп. 48.1.2 и 48.2.1 и который был описан более детально в п. 49.1.3. Речь идет о том классе игр, где единственной целью всех игроков является образование определенных решающих коалиций и где нет никаких других мотивов, которые входят в количественное описание игры.

При комбинировании той части (49:Е), которая относится к существенным играм, с (49:1) оказывается, что формальным выражением этой идеи является

(49:1:Ь) Wr [j LT = 7.

Действительно, это условие выражает то, что любая данная коалиция S принадлежит либо к выигрывающей, либо к проигрывающей категории, без какого-либо дальнейшего подразделения.

В соответствии с этим введем определение: существенная игра, которая удовлетворяет (41:1:Ь), называется простой.

Понятие простоты инвариантно относительно стратегической эквивалентности, поскольку таковыми являются Wr и LT.

49.5. Некоторые элементарные свойства простоты

49.5.1. Прежде чем заняться детальным математическим исследованием введенного понятия, рассмотрим еще раз заключительное замечание из п. 49.3. Смысл этого замечания состоит в том, что существенные игры - простые, если значения v (S) лежат для каждого S на границе *) области, определенной неравенствами (27:7) из п. 27.2.

Множество всех существенных игр п лиц (нормированных; у = 1) может быть представлено как геометрическая фигура, размерность которой видна из табл. 24. Говоря более точно, соответствующие неравенства определяют выпуклую многогранную область Qn в линейном пространстве соответствующей размерности, и точки этой области описывают все такие игры 2).

49.5.2. Например, для п = 3 размерность равна 0 и область Q3 есть единственная точка.

г) Эта граница состоит из двух точек: верхнего предельного значения п - р и нижнего предельного значения -р (у = 1). v (S) должно быть одним из этих двух значений, безразлично каким.

2) Читатель, который знаком с гс-мерной линейной геометрией, заметит, что так как множество Qn определяется линейными неравенствами, оно должно быть многогранником. Рассуждения из п. 27.6 позволяют заключить, что этот многогранник выпуклый.

Для п = 4 размерность равна 3 и областью является куб Q из п. 34.2.2.

Простыми играми являются те игры, для которых мы находимся на границе каждого определяющего неравенства. Относительно выпуклой многогранной области Qn это означает, что простые игры соответствуют вершинам Qn, лг = 3, 4.

Например, для п = 3 множество Q3 состоит из единственной точки, т. е. ничего, кроме вершины, в нем нет; поэтому существенная игра трех лиц простая 1). Для п = 4 множество (?4 есть куб Q, и простым играм соответствуют его вершины I-VIII 2).

49.6. Простые игры и их W и X. Минимальные выигрывающие коалиции Wm

49.6.1. Комбинируя (49:Е) с определением простоты, мы получаем следующее.

(49:F) Для того чтобы два данных семейства W и L были множе-

ствами Wr и Lr для некоторой соответствующей игры Г, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: (48:А:а) - (48:A:d), (49:С).

То, что S из (49:2) пробегает все подмножества /, является определяющим для простоты. Поэтому для простых игр и только для них знание Wr и Lv позволяет определить v (S) при условии, что игра нормирована и у = 1. Без последнего условия это определяет игру с точностью до стратегической эквивалентности.

Переформулируем сказанное:

(49: G) Игра Г определяется своими Wr и Lr с точностью до стратегической эквивалентности тогда и только тогда, когда она простая.

Поэтому, согласно (49:F) и (49:G), теория простых игр эквивалентна теории тех пар семейств W и L, которые удовлетворяют (48:А:а) - (48:A:d), (49:С).

49.6.2. При изучении описанных выше пар W и L следует вспомнить п. 48.2.2 и, в частности, (48:W) и (48:L), а также (49:2). Согласно этим условиям, для того чтобы определить пару W и L, достаточно указать либо W, либо L.

Условия (48:А:а) - (48:A:d) заменяются тогда на (48:W), если используется W, или на (48:L), если используется L.

Условие (49:С) непосредственно относится к L. Можно отнести его и к W, применив (48:А:Ь); при этом упомянутые в нем множества следует заменить их дополнениями.

Ради полноты мы переформулируем (48:W) и (48:L) вместе с соответствующими формами (49:С).

х) См. также (50:А) из п. 50.1.1.

2) Поскольку дело касается вершин /, v, vi, vii, это неудивительно. Наше рассуждение началось с них в п. 48.1, и наше понятие простоты было получено из них посредством обобщения.

Появление вершин , 77/, iv, viii может даже озадачить. Мы исследовали в п. 35.2 соответствующие игры как прототипы разложимости. Однако они также простые, как это будет следовать из (50:А) и начала п. 51.6.

Множества W (1) характеризуются следующими свойствами: (49:W*)

(49:W*:a) Из двух дополнительных (в /) множеств S и --S одно и только одно принадлежит W.

(49:W*:b) W содержит все надмножества своих элементов.

(49:W*:c) W содержит / и все (п - 1)-элементные множества.

Множества L (1) характеризуются следующими свойствами:

(49:L*)

(49:L*:a) Из двух дополнительных (в /) множеств S и -S одно и только одно принадлежит L.

(49:L*:b) L содержит все подмножества своих элементов.

(49:L*:c) L содержит пустое множество и все одноэлементные множества.

Как было указано выше, мы можем строить теорию, либо опираясь на If с (49: W*), либо - на L с (49:L*).

49.6.3. Обычному способу мышления в большей мере свойственно указывать выигрывающие коалиции, а не проигрывающие; мы будем пользоваться поэтому первой из упомянутых процедур.

В связи с этим заметим, что некоторое подмножество множества W оказывается равным по важности самому W. Это - множество тех элементов S £ W, которые не имеют собственных подмножеств, принадлежащих W. Назовем такие S минимальными элементами W (т. е. Wi), а их семейство обозначим через Wm (т. е. W ).

Интуитивное значение этого понятия ясно. Введенные минимальные выигрывающие коалиции действительно являются решающими. Это - те выигрывающие коалиции, из которых ни один участник не может быть удален. (Следует вспомнить, что наше обсуждение в п. 48.1.3 началось с перечисления этих коалиций для рассматриваемой там игры.)

49.7. Решения простых игр

49.7.1. Эвристические рассмотрения, которые привели нас к понятию простых игр, делают правдоподобным то, что исследование игр, принадлежащих этой категории, может оказаться легче, чем исследование произвольных игр п лиц с нулевой суммой. Для подтверждения этого мы должны исследовать, как определяются решения в простых играх. Так как мы рассматриваем теперь старую форму теории, нужно принять во внимание п. 30.1.1 *). Начнем с замечания, что можно ожидать значительного упрощения от того факта, что в простой игре каждое множество либо заведомо необходимо, либо заведомо не необходимо (см. п. 31.1.2).

49.7.2. Для того чтобы установить это утверждение,докажем сначала:

(49:Н) В любой существенной игре Г все множества S из Wr заведомо необходимы, а все множества S из Ьт заведомо не необходимы.

г) В терминах новой формы теории, введенной в п. 44.7.2 и в последующих пунктах, это означает, что мы ищем решения для Е (0), т. е. при этом эксцессы ограничены значением 0.

Роль этого ограничения станет яснее в третьем замечании в п. 51.6.